Föreläsning i flervariabelanalys
10

Variabelbyte i dubbel och trippelintegral

Denna föreläsning handlar om hur man byter variabler i dubbel och trippelintegraler. De viktigaste variabelbytena är det polära, det cylindriska och det sfäriska variabelbytet.

Till föreläsningen
Föreläsningens innehåll

Vissa integrationsproblem kan förenklas avsevärt genom att utnyttja t.ex. en inneboende symmetri. I praktiken kan en sådan symmetri ofta tolkas mha ett variabelbyte. Denna föreläsning går genom tankegångarna kring ett sådan variabelbyte. Centralt för variabelbyte blir variabelbytets derivatamatris vars determinant kan tolkas som en lokal areaförstoring (eller minskning). I variabelbytet ingår därför denna derivatadeterminant som en faktor och vi reder ut hur det hela hänger ihop. Vad dessa kunskaper förhoppningsvis kokar ned till är en förståelse för följande variabelbytesformler när vi har ett variabelbyte \(T\):

Variabelbyte i dubbelintegral ::
\[ \iiint_A F(x,y) dV=\iiint_{A^*} F(x(u,v),y(u,v))|det T'| du\ dv, \]

Variabelbyte i trippelintegral
\[ \begin{split} &\iiint_V F(x,y,z) dV=\\ &\\ &=\iiint_{V^*} F(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))|det T'| du\ dv\ dw \end{split} \]

Avsnitt i Adams att arbeta med

Adams 14.4 och 14.6

Uppgifter från Adams att räkna

14.4 :: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 21, 23
14.6 :: 1, 3, 5, 7, 9, 11

Räkneövningar kopplade till denna föreläsning
  1. Räkneövning 17 :: Integralen av ett glasstrutsområde

    I denna övning visas hur man integrerar över ett glasstrutsområde mha sfäriska koordinater

  2. Räkneövning 18 :: En integral mha sfäriska koordinater

    Ytterligare ett exempel där sfäriska koordinater är nyckeln.

  3. Räkneövning 16 :: Adams 14.4.12

    Detta är lösning till Adams uppgift 14.4.12 som ger en idé om hur man kan dela upp en integral i flera bitar.

Miniföreläsningar kopplade till denna föreläsning
Lösta problem knutna till denna föreläsning
Mathematica dokument för denna föreläsning ::

För närvarande finns inga mathematicadokument producerade för denna föreläsning.

Veckoplaneringar :

Terminologi:: En vekka är för en kvartsfartskurs
två vanliga veckor.

Kursinformation :
Miniföreläsningar
Föreläsningar
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
Räkneövningar
Kategorier