Adams 12.5.16 är en jobbig övning i beräkning av andraderivator till en sammansatt funktion.
6
Räkneövningen börjar med en snabb förklaring om vad en harmonisk funktion innebär:
\(u(x,y)\) är harmonisk om
\[
\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0
\]
och här visas att en viss funktion som
ingår i uppgiften faktiskt är harmonisk. I uppgiften så beräknar vi andraderivatorna till den sammansatta funktionen
\[
F(x,y)=f(u(x,y),v(x,y)),\quad\text{ där }\quad u(x,y)=\frac{x}{x^2+y^2},\quad v(x,y)=\frac{y}{x^2+y^2}
\]
och vi visar att summan av dem blir noll, vilket innebär att funktionen är harmonisk