Exempel sfären som parameteryta som också är nivåyta
I denna övning studerar vi enhetssfären som är ett konkret exempel på situationen i föregående föreläsning.
5
Enhetssfären är nivåytan \(f=1\) till funktionen
\[
f(x,y,z)=x^2+y^2+z^2
\]
Den klassiska parametriseringen av denna ges av
\[
S(\theta,\phi)=(\cos[\theta]\sin[\phi], \sin[\theta]\sin[\phi], \cos[\phi])
\]
Vi beräknar derivatamatriser och gradienter och visar tangentplanet och gradienten är ortogonala och att kedjeregeln säger vad den ska.