Beräkna tangentplanet till grafen till funktionen \(f(x,y)=x^2-y^2\) i punkten \((1,2,-3)\).
Planet kan dels skrivas på ekvationsform som \[2x-4y-z=-3\].
Planets parameterform blir
\[
\left[\begin{array}{c}x \\y \\z\end{array}\right]=
\left[\begin{array}{c}1 \\0 \\2\end{array}\right]s+
\left[\begin{array}{c}0 \\1 \\-4\end{array}\right]t+\left[\begin{array}{c}1 \\2 \\-3\end{array}\right]
\]
Nyckeln till lösningen av uppgiften ligger i att grafen till en funktion dels lätt kan skrivas som en nivåyta och dels har en väldigt rättfram parametrisering.
Grafen till vår funktion är nivåytan \(g=0\) för funktionen
\[
g(x,y,z)=x^2-y^2-z
\]
Denna funktions gradient i vår punkt blir
\[
\nabla g|_{(1,2-3)}=(2x,-2y,-1)|_{(1,2-3)}=(2,-4,-1)
\]
Enligt vad vi lärde oss i Räkneövning 4 så har vi att denna gradientvektor är tangentplanets normalvektor och då ges
tangentplanet av ekvationen
\[
(2,-4,-1)\bullet (x-1,y-2,z+3)=0\quad
\]
som ger oss
\[
2x-4y-z=-3
\]
Detta är tangentplanets ekvation.
Om vi vill skriva tangentplanet på parameterform så kan vi enligt räkneövning 4 använda partialderivatorna till funktionsgrafens parametrisering men innan vi kan göra det så behöver vi beräkna en sådan parametrisering av funktionsgrafen. Detta är ganska enkelt i vårt fall: sätt \(x=u\) och \(y=v\) och \(z=f(x,y)=f(u,v)=u^2-v^2\):
\[
S(u,v)=(u,v,f(u,v))=(u,v,u^2-v^2)
\]
Partialderivatorna blir därför
\[
\begin{split}
\frac{\partial S}{\partial u}\Bigg|_{(1,2)}&=\left[\begin{array}{c}1 \\0 \\2u\end{array}\right]_{(1,2)}=\left[\begin{array}{c}1 \\0 \\2\end{array}\right]
\\
\frac{\partial S}{\partial v}\Bigg|_{(1,2)}&=\left[\begin{array}{c}0 \\1 \\-2v\end{array}\right]_{(1,2)}
=\left[\begin{array}{c}0 \\1 \\-4\end{array}\right]
\end{split}
\]
Detta ger oss att tangenplanet genom vår punkt blir
\[
\left[\begin{array}{c}x \\y \\z\end{array}\right]=
\left[\begin{array}{c}1 \\0 \\2\end{array}\right]s+
\left[\begin{array}{c}0 \\1 \\-4\end{array}\right]t+\left[\begin{array}{c}1 \\2 \\-3\end{array}\right]
\]