I denna föreläsning lär man sig hur man beräknar trippelintegraler
I denna föreläsning studerar vi Trippelintegraler.
Det enklaste fallet är när integrationsområdet är en rektangulär låda som är parallell med koordinataxlarna. Vi visar
med Adams 14.5.2 hur man går till väga.
Sedan definierar vi att ett z-enkelt område (även x-enkla och y-enkla områden) är ett område i \(\mathbb{R}^3\) som
stängs in mellan graferna till två funktioner av \(x\) och \(y\) ovanför ett område i \(xy\)-planet.
Sedan ser man hur man ska integrera över ett sådant z-enkelt område.
Vi exemplifierar metoden genom att räkna Adams 14.5.4 och 14.5.7
Lösta problem för denna föreläsning ::
Mathematica dokument för denna föreläsning ::
Tänk på att man behöver webbläsarplugin Mathematica Player för att se .cdf filerna. .nb filerna kräver
att man installerat Mathematica ( som alla studenter vid Högskolan i Gävle har tillgång till ).
Mathematica filer:
| Titel |
cdf-fil |
mathematica fil |
pdf-fil |
Denna föreläsning handlar om hur man byter variabler i dubbel och trippelintegraler.
De viktigaste variabelbytena är det polära, det cylindriska och det sfäriska variabelbytet.
Vissa integrationsproblem kan förenklas avsevärt genom att utnyttja t.ex. en inneboende symmetri. I praktiken kan en sådan symmetri ofta tolkas mha ett variabelbyte.
Denna föreläsning går genom tankegångarna kring ett sådan variabelbyte.
Centralt för variabelbyte blir variabelbytets derivatamatris vars determinant kan tolkas som en lokal areaförstoring (eller minskning). I variabelbytet ingår därför
denna derivatadeterminant som en faktor och vi reder ut hur det hela hänger ihop.
Vad dessa kunskaper förhoppningsvis kokar ned till är en förståelse för följande variabelbytesformler när vi har ett variabelbyte \(T\):
Variabelbyte i dubbelintegral ::
\[
\iiint_A F(x,y) dV=\iiint_{A^*} F(x(u,v),y(u,v))|det T'| du\ dv,
\]
Variabelbyte i trippelintegral
\[
\begin{split}
&\iiint_V F(x,y,z) dV=\\ &\\
&=\iiint_{V^*} F(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))|det T'| du\ dv\ dw
\end{split}
\]
Lösta problem för denna föreläsning ::
Mathematica dokument för denna föreläsning ::
Tänk på att man behöver webbläsarplugin Mathematica Player för att se .cdf filerna. .nb filerna kräver
att man installerat Mathematica ( som alla studenter vid Högskolan i Gävle har tillgång till ).
Mathematica filer:
| Titel |
cdf-fil |
mathematica fil |
pdf-fil |
Denna föreläsning introducerar parameterkurvor, hur man beräknar deras längd samt hur man beräknar kurvintegraler.
En parameterkurva är en funktion \(r :\mathbb{R}\ni t\to\mathbb{R}^n\)
\[
r(t)=(x_1(t),\dots,x_n(t))
\]
I denna föreläsning ger vi en introduktion till kurvor och deras tolkning som bana för en partikel i rörelse.
Parametervektorn anger då positionen för partikeln vid olika tidpunkter. Derivatan till parameterfunktioner anger
partikelns hastighet och dess accelleration ges av hastighetens tidsderivata vilket är vår parameterfunktions andraderivata.
Man lär sig också hur man beräknar längden på parameterkurvor. I ett antal exempel så ser vi att detta arbete kan vara enkelt men också att
enkla situationer kan leda till integraler som i praktiken är omöjliga att beskriva på ett elementärt sett.
Sist så generaliserar vi längdintegreringen och introducerar kurvintegraler.
Lösta problem för denna föreläsning ::
Mathematica dokument för denna föreläsning ::
Tänk på att man behöver webbläsarplugin Mathematica Player för att se .cdf filerna. .nb filerna kräver
att man installerat Mathematica ( som alla studenter vid Högskolan i Gävle har tillgång till ).
Mathematica filer:
| Titel |
cdf-fil |
mathematica fil |
pdf-fil |