Flervariabelanalys

I detta kapitel introduceras derivatamatriser och sedan används dem till att härleda en allmän kedjeregel som i sin tur kan användas för att härleda andra mer speciella kedjeregler.
En allmän avbildning från ett flerdimensionellt rum till ett annat kan approximeras med en linjär avbildning. Den linjära avbildningen är en matris som består av alla partialderivator till avbildningens komponentfunktioner. När man sätter samman funktioner och ska derivera dem så söker man efter en ny derivatamatris och vill uttrycka den i de ingående avbildningarnas derivatamatriser. Det är detta kedjeregeln ger oss. Mha en allmän kedjeregel så är det möjligt att härleda kedjeregler i olika speciella situationer. Till sist ges en alternativ metod att få fram kedjeregler som är ganska smidig att använda.

Lösta problem för denna föreläsning ::

1. Beräkna tangentplanet till grafen till funktionen \(f(x,y)=x^2-y^2\) i punkten \((1,2,-3)\).

Mathematica dokument för denna föreläsning ::

Tänk på att man behöver webbläsarplugin Mathematica Player för att se .cdf filerna. .nb filerna kräver att man installerat Mathematica ( som alla studenter vid Högskolan i Gävle har tillgång till ).

Mathematica filer:

Titel	cdf-fil	mathematica fil	pdf-fil
Sfär med tangentplan och gradientplan	sphereTangentNormal-sta.cdf	sphereTangentPlaneNormal.nb	sphereTangentPlaneNormal.pdf
Cirkel med tangent och normal	cirkelTangentNormal-sta.cdf	cirkelMedDerivataVektor-sta.nb	cirkelMedDerivataVektor-sta.pdf

Gradienten till en funktion är vektorn som har funktionens partialderivator som komponenter. Gradienten är vinkelrät mot funktionens nivåkurvor (eller nivåytor i det tredimensionella fallet) och pekar i den riktning som funktionen ökar mest.
Gradienten till en reellvärd funktion \(f(x,y)\) år samma sak som dess derivata matris men vi skriver nu \[ \nabla f=\left[\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial{f}}{\partial y}\right] \] Gradienten är vinkelrät mot nivåkurvorna \(f(x,y)=C\) och pekar i den riktning som funktionen ökar mest.

I räkneövningen som hör ihop med denna föreläsning visas också hur gradienten kan användas för att beräkna tangenplanet till en nivå yta för en funktion i tre variabler.

Lösta problem för denna föreläsning ::

Mathematica dokument för denna föreläsning ::

Tänk på att man behöver webbläsarplugin Mathematica Player för att se .cdf filerna. .nb filerna kräver att man installerat Mathematica ( som alla studenter vid Högskolan i Gävle har tillgång till ).

Mathematica filer:

Titel	cdf-fil	mathematica fil	pdf-fil
manipulera riktningsderivata för att jämföra med gradienten	riktgrad.cdf	riktgrad.nb	riktgrad.pdf

Implicita funktionssatsen säger att ett systems lösbarhet kan avgöras av derivatamatrisen som hör ihop med systemet. Detta är en viktig sats.
Föreläsningen gör ett försök att tolka satsens formulering och framförallt få fram hur derivatamatrisen kommer in i det hela. Två relativt enkla exempel används för att illustrera satsen.

Lösta problem för denna föreläsning ::

Mathematica dokument för denna föreläsning ::

Tänk på att man behöver webbläsarplugin Mathematica Player för att se .cdf filerna. .nb filerna kräver att man installerat Mathematica ( som alla studenter vid Högskolan i Gävle har tillgång till ).

Mathematica filer:

Titel	cdf-fil	mathematica fil	pdf-fil