Vi introducerar divergens och rotation. Två viktiga satser gås igenom: Divergenssatsen och Greens sats.
I denna föreläsning definierar vi divergensen \(\nabla\bullet F\) för ett vektorfält och ger den en tolkning om graden av expansion eller komprimering för fältet i en punkt.
Vi tolkar också rotationen \(\nabla\times F\). Denna representerar en lokal rotationseffekt för fältet. Rotationen ger oss en riktning där rotationseffekten är störst.
Divergenssatsen:: Låt \(V\) vara en volym som stängs inne av en sluten yta \(S\). Då gäller
\[
\iint_S F\bullet N dS=\iiint_V \nabla\bullet F dV
\]
Greens sats:: Låt \(D\) vara ett slutet område i planet och \(C\) dess slutna randkurva. Då gäller för ett fält \(F=(F_1(x,y),F_2(x,y))\) i planet att
\[
\int_C F\bullet dr =\iint_D \frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y} dS
\]
Lösta problem för denna föreläsning ::
Mathematica dokument för denna föreläsning ::
Tänk på att man behöver webbläsarplugin Mathematica Player för att se .cdf filerna. .nb filerna kräver
att man installerat Mathematica ( som alla studenter vid Högskolan i Gävle har tillgång till ).
Mathematica filer:
| Titel |
cdf-fil |
mathematica fil |
pdf-fil |
I denna föreläsning introduceras Stokes sats i 3 dimensioner
Stokes sats i tre dimensioner relaterar en ytintegral av rotationen för ett vektorfält över en orienterad yta med rand med
kurvintegralen av fältet över ytans randkurva:
\[
\int_C F\bullet dr=\iint_S (\nabla\times F)\bullet N dS
\]
Om fältet, ytan och kurvan är begränsade till planet så reduceras Stokes sats och vi får Greens sats.
Föreläsningen innehåller exempel som visar hur Stokes sats kan användas i några olika situationer.
Lösta problem för denna föreläsning ::
Mathematica dokument för denna föreläsning ::
Tänk på att man behöver webbläsarplugin Mathematica Player för att se .cdf filerna. .nb filerna kräver
att man installerat Mathematica ( som alla studenter vid Högskolan i Gävle har tillgång till ).
Mathematica filer:
| Titel |
cdf-fil |
mathematica fil |
pdf-fil |