Flervariabelanalys

Skalärfät, vektorfält, Konservativa vektorfält, Potentialfunktion, Flödeslinjer, strömningslinjer, Linjeintegraler, oberoende av väg.
I denna föreläsning går vi genom grunderna om skalärfält och vektorfält. Man lär sig hur man beräknar flödeslinjer, vad ett konservativt vektorfält är och hur man kan avgöra om ett fält är konservativt eller inte. Man lär sig också beräkna linjeintegraler som ofta tolkas som arbete som utförs av en partikel som rör sig genom ett vektorfält. Om fältet är konservativt så visar det sig att linjeintegralen inte beror av vilken väg man integrerar utmed utan beror bara av kurvans start och slutpunkt. Om man lyckats beräkna det konservativa fältets potential så ger skillnaden mellan potentialens värden i de båda punkterna linjeintegralens värde. Om potentialfunktionen inte är känd så är man ändå fri att välja den väg som är lättast att beräkna.

Lösta problem för denna föreläsning ::

Mathematica dokument för denna föreläsning ::

Tänk på att man behöver webbläsarplugin Mathematica Player för att se .cdf filerna. .nb filerna kräver att man installerat Mathematica ( som alla studenter vid Högskolan i Gävle har tillgång till ).

Mathematica filer:

Titel	cdf-fil	mathematica fil	pdf-fil

Föreläsningen introducerar parmeterytor, härleder ytornas areaelement och använder detta för att beräkna ytans area och ytintegraler över ytorna
En parameteryta är en funktion \(r:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3\): \[ r(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) \] Arean av en yta \(S\) ges av \[ \iint_S dS=\iint_S ||\frac{\partial r}{\partial u}\times \frac{\partial r}{\partial v}|| dudv \] En allmän ytintegral av funktionen \(H(x,y,z)\) ges av \[ \iint_S H dS=\iint_S H(r(u,v))||\frac{\partial r}{\partial u}\times \frac{\partial r}{\partial v}|| dudv \]

Lösta problem för denna föreläsning ::

Mathematica dokument för denna föreläsning ::

Tänk på att man behöver webbläsarplugin Mathematica Player för att se .cdf filerna. .nb filerna kräver att man installerat Mathematica ( som alla studenter vid Högskolan i Gävle har tillgång till ).

Mathematica filer:

Titel	cdf-fil	mathematica fil	pdf-fil

Flödesintegralen över en yta mäter hur mycket ett fält strömmar genom ytan. Flödesintegralen kräver att ytan är orienterar, ett begrepp som definieras i denna föreläsning.
På en orienterbar yta kan man hitta ett kontinuerligt enhetsnormalvektorfält, dvs ett fält av vektorer med längden ett och som varierar kontinuerligt över ytan. Orienteringen ger oss en referensriktning av ytan så att vi kan avgöra vilken riktning som ett vektorfält strömmar genom ytan. För en sluten yta (tänk en sfär) så kan vi säga om fältet strömmar utåt eller innåt genom ytan.
För att beräkna flödet genom en yta parametriserad av \(r(u,v)\) , så definieras ett orienterat ytelement \[ d\mathbf{S}= (\frac{\partial r}{\partial u}\times \frac{\partial r}{\partial v}) du dv \] och flödet genom detta element ges som skalärprodukten mellan detta orienterade ytelement och vektorfältet i en punkt på ytan som ligger i ytelementet.
Det totala flödet genom den parametriserade ytan får vi genom att summera bidraget från alla ytelement som får plats på ytan: \[ \iint_S \mathbf{F}\bullet d\mathbf{S} = \iint_S \mathbf{F}\bullet (\frac{\partial r}{\partial u}\times \frac{\partial r}{\partial v}) du dv \]

Lösta problem för denna föreläsning ::

Mathematica dokument för denna föreläsning ::

Tänk på att man behöver webbläsarplugin Mathematica Player för att se .cdf filerna. .nb filerna kräver att man installerat Mathematica ( som alla studenter vid Högskolan i Gävle har tillgång till ).

Mathematica filer:

Titel	cdf-fil	mathematica fil	pdf-fil