Flervariabelanalys

Vi tittar på hur förkunskaper från envariabelanalys och linjär algebra leder oss in i flerdimensionell analys.
Den här föreläsningen startar från enkla förkunskaper från envariabelanalys och linjär algebra och ser hur dessa hjälper oss att komma igång med flervariabelanalysen. I mer detalj så leder kunskaper om vanlig derivering i en variabel direkt till partialderivering av flervariabelfunktioner med avseende på sina variabler. Vi tittar också på ekvationslösning a´ la linjär algebra och ser hur fallen som ger oss parameterlösningar leder oss till förståelse för allmännare parameterkurvor och parameterytor. I föreläsningsfilmerna så visas också hur matematikprogrammet mathematica kommer att användas i föreläsningarna.

Lösta problem för denna föreläsning ::

1. Beräkna partialderivatorna \(\frac{\partial f}{\partial x}\) och \(\frac{\partial f}{\partial y}\) till funktionen \(f(x,y)=x^2y+3x^3y^5\)
2. Beräkna dubbelintegralen \[ I= \int_0^2\int_1^2 xy dx dy \]
3. Beräkna partialderivatorna till funktionen \(f(x,y)=x^2y^3+xy^2\).

Mathematica dokument för denna föreläsning ::

Tänk på att man behöver webbläsarplugin Mathematica Player för att se .cdf filerna. .nb filerna kräver att man installerat Mathematica ( som alla studenter vid Högskolan i Gävle har tillgång till ).

Mathematica filer:

Titel	cdf-fil	mathematica fil	pdf-fil
Parametrisering av ett plan	param-plan.cdf	param-plan.nb	param-plan.pdf
Parametriserad torus	ParamYta-Torus.cdf	ParamYta-Torus.nb	ParamYta-Torus.pdf
cdf-dokument om parameterlinjer och kurvor	param-curve.cdf	param-curve.nb	param-curve.pdf

Översikt över funktioner i flera variabler och hur man kan visualisera dem.
Här görs en genomgång av de typer av funktioner som vi studerar i kursen flervariabelanalys. Att kunna visualisera flervariabelfunktioner är speciellt nyttigt när det gäller flervariabelfunktioner. Vi visar några ollika sätt att visualisera funktionerna.

Lösta problem för denna föreläsning ::

Mathematica dokument för denna föreläsning ::

Tänk på att man behöver webbläsarplugin Mathematica Player för att se .cdf filerna. .nb filerna kräver att man installerat Mathematica ( som alla studenter vid Högskolan i Gävle har tillgång till ).

Mathematica filer:

Titel	cdf-fil	mathematica fil	pdf-fil
visualisering av flervariabelfunktioner	visualisering_Flervar_fkn.cdf	visualisera3Dfunktioner.nb	visualisera3Dfunktioner.pdf
Mathematica från föreläsningen 31 mars 2014	lect-31mars.cdf	lect1-31mars.nb	lect1_nb.pdf

I denna föreläsning introducera partialderivatan och man lär sig hur man deriverar partiellt.
Här introduceras först riktningsderivatan. Partialderivatorna är riktningsderivatan parallellt med x- respektive y-axlarna. Man lär sig beräkna partialderivatan med avseende på en variabel genom att hålla de andra variablerna konstanta och derivera med avseende på den aktuella variabeln. Vi visar också hur man beräknar högre ordningens derivator och noterar att blandade derivator är lika, dvs ordningen vilken man deriverar i inte spelar någon roll.

Lösta problem för denna föreläsning ::

1. Beräkna alla andra ordningens partialderivator till funktionen \[ f(x,y)=\ln(x^2+y^2) \]

Mathematica dokument för denna föreläsning ::

Tänk på att man behöver webbläsarplugin Mathematica Player för att se .cdf filerna. .nb filerna kräver att man installerat Mathematica ( som alla studenter vid Högskolan i Gävle har tillgång till ).

Mathematica filer:

Titel	cdf-fil	mathematica fil	pdf-fil
Visualisering av D’Alemberts lösning av vågekvationen	dAlembert-2.cdf	dAlambert.nb	dAlambert.pdf
Manipulera partialderivata	partialderivata_manipulate2.cdf	partialderivata_manipulate.nb	partialderivata_manipulate.pdf