I denna föreläsning definierar vi divergensen \(\nabla\bullet F\) för ett vektorfält och ger den en tolkning om graden av expansion eller komprimering för fältet i en punkt.
Vi tolkar också rotationen \(\nabla\times F\). Denna representerar en lokal rotationseffekt för fältet. Rotationen ger oss en riktning där rotationseffekten är störst.
Divergenssatsen:: Låt \(V\) vara en volym som stängs inne av en sluten yta \(S\). Då gäller
\[
\iint_S F\bullet N dS=\iiint_V \nabla\bullet F dV
\]
Greens sats:: Låt \(D\) vara ett slutet område i planet och \(C\) dess slutna randkurva. Då gäller för ett fält \(F=(F_1(x,y),F_2(x,y))\) i planet att
\[
\int_C F\bullet dr =\iint_D \frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y} dS
\]
Räkneövningar kopplade till denna föreläsning ::
- Adams 16.3.5 :: Till räkneövningen
Detta är en uppgift som visar hur man kan använda Greens sats för att beräkna areor.
- Adams 16.4.3 :: Till räkneövningen
En divergenssatsuppgift. Vi utnyttjar ett symmetriargument för att göra integreringen enklare.
- Adams 16.4.11 :: Till räkneövningen
Här använder vi divergenssatsen för att beräkna flödet genom en icke sluten yta.