Vissa integrationsproblem kan förenklas avsevärt genom att utnyttja t.ex. en inneboende symmetri. I praktiken kan en sådan symmetri ofta tolkas mha ett variabelbyte.
Denna föreläsning går genom tankegångarna kring ett sådan variabelbyte.
Centralt för variabelbyte blir variabelbytets derivatamatris vars determinant kan tolkas som en lokal areaförstoring (eller minskning). I variabelbytet ingår därför
denna derivatadeterminant som en faktor och vi reder ut hur det hela hänger ihop.
Vad dessa kunskaper förhoppningsvis kokar ned till är en förståelse för följande variabelbytesformler när vi har ett variabelbyte \(T\):
Variabelbyte i dubbelintegral ::
\[
\iiint_A F(x,y) dV=\iiint_{A^*} F(x(u,v),y(u,v))|det T'| du\ dv,
\]
Variabelbyte i trippelintegral
\[
\begin{split}
&\iiint_V F(x,y,z) dV=\\ &\\
&=\iiint_{V^*} F(x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w))|det T'| du\ dv\ dw
\end{split}
\]
Räkneövningar kopplade till denna föreläsning ::
- Adams 14.4.12 :: Till räkneövningen
Detta är lösning till Adams uppgift 14.4.12 som ger en idé om hur man kan dela upp en integral i flera bitar.
- Integralen av ett glasstrutsområde :: Till räkneövningen
I denna övning visas hur man integrerar över ett glasstrutsområde mha sfäriska koordinater
- En integral mha sfäriska koordinater :: Till räkneövningen
Ytterligare ett exempel där sfäriska koordinater är nyckeln.