På en orienterbar yta kan man hitta ett kontinuerligt enhetsnormalvektorfält, dvs ett fält av vektorer med längden ett och som varierar kontinuerligt över ytan.
Orienteringen ger oss en referensriktning av ytan så att vi kan avgöra vilken riktning som ett vektorfält strömmar genom ytan. För en sluten yta (tänk en sfär)
så kan vi säga om fältet strömmar utåt eller innåt genom ytan.
För att beräkna flödet genom en yta parametriserad av \(r(u,v)\) , så definieras ett orienterat ytelement
\[
d\mathbf{S}= (\frac{\partial r}{\partial u}\times \frac{\partial r}{\partial v}) du dv
\]
och flödet genom detta element ges som skalärprodukten mellan detta orienterade ytelement
och vektorfältet i en punkt på ytan som ligger i ytelementet.
Det totala flödet genom den parametriserade ytan får vi genom att summera bidraget från alla ytelement som får plats på ytan:
\[
\iint_S \mathbf{F}\bullet d\mathbf{S} = \iint_S \mathbf{F}\bullet (\frac{\partial r}{\partial u}\times \frac{\partial r}{\partial v}) du dv
\]
Räkneövningar kopplade till denna föreläsning ::
- Adams 15.6.1 :: Till räkneövningen
I denna uppgift beräknas flödet genom en sluten yta som består av flera delar. Flödet för varje del räknas för sig och totala flödet är summan av delarnas flöden.