Flervariabelanalys

En allmän avbildning från ett flerdimensionellt rum till ett annat kan approximeras med en linjär avbildning. Den linjära avbildningen är en matris som består av alla partialderivator till avbildningens komponentfunktioner. När man sätter samman funktioner och ska derivera dem så söker man efter en ny derivatamatris och vill uttrycka den i de ingående avbildningarnas derivatamatriser. Det är detta kedjeregeln ger oss. Mha en allmän kedjeregel så är det möjligt att härleda kedjeregler i olika speciella situationer. Till sist ges en alternativ metod att få fram kedjeregler som är ganska smidig att använda.

Räkneövningar kopplade till denna föreläsning ::

1. Kedjeregeln använd för tangenten och gradienten för en cirkel :: Till räkneövningen
   

   Vi visar hur derivatan till en parametrisering av cirkeln och hur gradienten till en funktion som har cirkeln som nivåkurva bidrar till en geometrisk förståelse av cirkeln. Poängen är hur vi använder kedjeregeln för att få fram detta.

2. Generalisering av cirkelexemplet från Rö 2 :: Till räkneövningen
   

   I Räkneövning 2 så visade vi att cirkelparametriseringens derivata och nivåkurvefunktionens gradientvektor är ortogonala. I denna övning så visar vi att detta gäller i ett allmännare fall.

3. Tangentplan för parameterytor :: Till räkneövningen
   

   I denna övning visar vi hur parameterytans partialderivator spänner upp tangentplanet. Om parameterytan också är en nivåyta till en funktion så kommer gradienten till denna funktion vara ortogonal mot tangentplanet

4. Exempel sfären som parameteryta som också är nivåyta :: Till räkneövningen
   

   I denna övning studerar vi enhetssfären som är ett konkret exempel på situationen i föregående föreläsning.

5. Lösning till Adams uppgift 12.5.16 :: Till räkneövningen
   

   Adams 12.5.16 är en jobbig övning i beräkning av andraderivator till en sammansatt funktion.

6. Adams 12.5.2 :: Till räkneövningen
   

   kedjeregel

7. Adams 12.5.10 :: Till räkneövningen
   

   Adams 12.5.10

8. Adams 12.5.18 :: Till räkneövningen
   

   Adams 12.5.18

9. Adams 12.6.8 :: Till räkneövningen
   

   Adams uppgift 12.6.8 om linjär approximation till en reellvärd funktion

10. Adams 12.6.20 :: Till räkneövningen
    

    Adams 12.6.20: linjär approximation för en vektorvärd funktion.

Lösta problem för denna föreläsning ::

1. Tangentplan för en funktionsgraf :: svar/lösning
   

   Beräkna tangentplanet till grafen till funktionen \(f(x,y)=x^2-y^2\) i punkten \((1,2,-3)\).

Mathematica dokument för denna föreläsning ::

Tänk på att man behöver webbläsarplugin Mathematica Player för att se .cdf filerna. .nb filerna kräver att man installerat Mathematica ( som alla studenter vid Högskolan i Gävle har tillgång till ).

Mathematica filer:

Titel	cdf-fil	mathematica fil	pdf-fil
Sfär med tangentplan och gradientplan	sphereTangentNormal-sta.cdf	sphereTangentPlaneNormal.nb	sphereTangentPlaneNormal.pdf
Cirkel med tangent och normal	cirkelTangentNormal-sta.cdf	cirkelMedDerivataVektor-sta.nb	cirkelMedDerivataVektor-sta.pdf