Lecture 7 :: Lagrange multiplikatormetod.

7

Lecture :: Lagrange multiplikatormetod
sammanfattning

När man söker extremvärden för en funktion givet att funktionen ska beräknas på en del av funktionens definitionsområde så behöver man utveckla nya metoder. En av dessa metoder är den så kallade Lagrangeska muliplikatormetoden.





Läsanvisningar::
Avsnitt i kursboken
Detta material svarar mot Adams Kapitel 13.3
Introduktion till Lagrange multiplikatormetod
Inledande exempel
En att en punkt \((a,b)\)ligger på en nivåkurva \(g=0\) är ett villkor som tvingar punkten att uppfylla ekvationen, dvs det krävs att \(g(a,b)=0\). Om vi sedan vill hitta den punkt på denna nivåkurva som gör att en annan funktion \(f(x,y)\) blir så liten som möjligt så säger vi att punkten minimerar \(f\) givet bivillkoret \(g=0\).

Denna minimerande punkt behöver inte göra att funktionen \(f\) minimeras i stort. Det kan mycket väl hända att funktionen \(f\) har ett minimum utanför nivåkurvan \(g\). Speciellt behöver vår minimerande punkt inte vara en kritisk punkt till \(f\). Detta gör att vi behöver nya idéer för hur man ska hitta minimum i situationer där en funktion ska minimeras givet ett bibillkor.

Övning 1::

Hitta den punkt på nivåkurvan \(xy=3\) som ligger närmast origo.

Lösning ::

Ett sätt att lösa detta är att
  1. lösa ut \(y\) ur \(xy=3\): så att vi får \(y=3/x\)
  2. sätt in i \(x^2+y^2\): \(\Rightarrow \) \(h(x)=\frac{x^4+9}{x^2}\)
  3. Hitta max för \(h(x\) :: kritiska punkter blir \(x=\pm\sqrt{3}\)
  4. Man får då att \(y=x=\pm\sqrt{3}\)
  5. Vi kan sedan verifiera att dessa minimerar avståndet.
I föreläsningarna introduceras Lagranges metod som hjälper oss i liknande situationer som denna men där det inte går att överföra problemet till en envariabelmaximering.
Video :: Introduktion till idén om Lagrange multiplikatorer.
cdf-filen från föregående video
Nivåkurvor för funktionen \[ f(x,y)=x^2+y^2 \] Tillsammans med nivåkurvan \(g=0\) för funktionen \(g(x,y)=xy-3\) Blå pil representerar \(\nabla f\). Röd Pil är \(\nabla g\) och grön pil är riktningsderivatan för \(f\) i riktining vinkelrät mot \(\nabla g\), vilket är på \(g=0\) är en tangentiell riktning. I figuren försöker man hitta en punkt som gör att denna riktningsderivata blir noll.
Video :: Lagrange multiplikatormetod.
Exempel 1 om Lagrange multiplikatormetod

Övning 2 ::

Använd Lagrange multiplikatormetod för att hitta punkterna på \(xy-3=0\) som ligger närmast origo.

Lösning ::

Detaljerna visas i följande video.
  1. Problemet ger att vi ska minimera \(f(x,y)=x^2+y^2\) givet att \(xy-3=0\)
  2. Ställ upp Lagrangefunktionen: \(L(x,y,\lambda)=x^2+y^2-\lambda(xy-3)\)
  3. Ställ upp villkoret för extrempunkten: \(\nabla L=0\)
  4. Lös ut \(\lambda\) från de två första ekvationerna. Genom att sätta dem lika får man villkoret \(x^2=y^2\) som har lösningarna \(y=\pm x\).
  5. Från bivillkoret \(xy=3\) får vi att \(y\) och \(x\) måste ha samma tecken vilket ger att \(y=+x\). Vi får också att \(x^2=3\) som ger oss de eftersökta värdena på \(x\) och \(y\).
Video :: Exempel 1 om Lagrange multiplikatormetod
Exempel:: Minimering av en lådas area.

Övning 3 (tolkning av Adams 13.3.18) ::

Vi ska tillverka en rektangulär låda utan lock som ska rymma en viss fix volym V. Beräkna lådans sidlängder som gör att minimal mängd material går åt för att tillverka lådan.

Lösning ::

Detaljerna visas i videon på nästa sida. Lösningsstrategi.
  1. Kalla lådans sidor för \(x, y\) och \(z\), där den sista är höjden
  2. Volymen: \(V=x\cdot y\cdot z\)
    Bivillkoret skrivs: \(xyz-V=0\)
  3. Arean: \(A=xy+2xz+2xy\). Denna funktion ska minimeras.
  4. Ställ upp problemets Lagrangefunktion \[L(x,y,z,\lambda)=xy+2xz+2yz-\lambda(xyz-V)\]
  5. Lös \(\nabla L=\mathbf{0}\)
  6. Man får att \(x=y=2z\) med \(z=\left(\frac{V}{4}\right)^{1/3}\).
Video :: Lagrangexempel 2 :: areaminimering för låda.