Beskriv ett utåtriktat enhetsnormalvektorfält för ytan av kuben (tänk på en tärning) \[K=\{(x,y,z):0\leq x\leq 1,0\leq y\leq 1,0\leq z\leq 1\}\] Förklara varför fältet inte är kontinuerligt och föreslå en lösning på problemet.

För kuben så måste vi hantera de olika sidorna separat: \[ \begin{split} \text{ för sidan med } &x=0\text{ har vi yttre normalvektor } (-1,0,0)\\ \text{ för sidan med } &x=1\text{ har vi yttre normalvektor } (1,0,0)\\ \text{ för sidan med } &y=0\text{ har vi yttre normalvektor } (0,-1,0)\\ \text{ för sidan med } &y=1\text{ har vi yttre normalvektor } (0,1,0)\\ \text{ för sidan med } &z=0\text{ har vi yttre normalvektor } (0,0-1)\\ \text{ för sidan med } &z=1\text{ har vi yttre normalvektor } (0,0,1) \end{split} \] Fältet är kontinuerligt överallt utom på kanterna mellan två av kubens sidor. På dessa får vi en konflikt mellan de två sidornas normalriktningar. Denna konflikt kan man bli av med genom att definiera en lämplig avrundning av kanterna där den ena sidans riktning kontinuerligt svänger över till den andra riktningen. Se figur.

Visa att för en funktionsgraf \(z=f(x,y)\) så har vi för en lämplig parametrisering \(r\) att \[ \frac{\partial r}{\partial x}\times \frac{\partial r}{\partial y}=(-\frac{\partial f}{\partial x},-\frac{\partial f}{\partial y}, 1) \]

En funktionsgraf \(z=f(x,y)\) har parametriseringen \[r(x,y)=(x,y,f(x,y)).\]
Man får därför att \[ \frac{\partial r}{\partial x}\times \frac{\partial r}{\partial y}= \det\left[\begin{array}{ccc} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & \frac{\partial f}{\partial x}\\ 0 & 1 & \frac{\partial f}{\partial y} \end{array}\right]=(-\frac{\partial f}{\partial x},-\frac{\partial f}{\partial y},1) \]

Givet ett vektorfält \(\mathbf{F}=(z,0,x^2)\) beräkna flödet genom den del av parabolytan \(z=x^2+y^2\) som ligger ovanför kvadraten \[ R=\{(x,y): -1\leq x\leq 1, -1\leq y\leq 1\} \]

Flödet blir \(4/3\) som videon på nästa sida visar