Beräkna flödeslinjerna till fältet \(F(x,y)=(-y,x)\)

Flödeslinjer kommer tangera vektorfältet i varje punkt. Linjens parametrisering \(r(t)=(x(t),y(t),z(t))\) hjälper oss att beskriva kurvans tangent som \[ r'(t)=(x'(t),y'(t)) \] Denna vektor är parallell med fältet om \[\frac{dx}{dt}=-ky\] och \[\frac{dy}{dt}=kx\] Vi löser ut \(k\cdot dt\) från båda dessa ekvationer och sätter dem lika: \[ k\cdot dt=-\frac{dx}{y}=\frac{dy}{x} \] Den sista likheten kan skrivas om som \[ -xdx=ydy\quad\text{integrering ger}\quad-x^2/2=y^2/2+C \] Och detta ger oss \(x^2+y^2=-2C\) som är cirklar
(åtminstone för \(C<0\)).

Visa att \(\nabla\times F=0\) då \(F=(yz,xz,xy)\). Är fältet konservativt? I princip behöver man beräkna potentialfunktionen.

Att \(\nabla\times F=0\) följer enkelt. För att hitta potentialfunktionen så gör vi så utnyttjar vi att en sådan har att \(\nabla\phi=F\) som ger oss \[ \partial\phi/\partial x=yz \quad\Rightarrow\quad \phi=xyz+C(y,z) \] Deriverar vi denna med avseende på \(y\) så får vi \[ xz+\partial C/\partial y =F_2=xz\quad\Rightarrow\quad \partial C/\partial y=0 \] som innebär att \(C(y,z)\) är konstant m.a.p. \(y\) dvs \(C\) är en funktion av \(z\) Deriverar vi \(\phi\) m.a.p. \(z\) så får vi \[ \partial\phi/\partial z=xy+dC/dz=xy\quad\Rightarrow\quad dC/dz=0 \] som ger att \(C=\text{ konst}\) Vi har därför att vår potentialfunktion blir \[ \phi(x,y,z)=xyz+\text{ konst}. \]