Denna föreläsning behandlar förkunskaper från framförallt linjär algebra och envariabelanalys och använder dessa för att ge en introduktion till hur dessa förkunskaper kommer in naturligt i flervariabelanalysen. I föreläsningen finns 8 stycken övningar som ni själva bör försöka lösa. Den som är otålig kan klicka fram lösningarna på uppgifterna men försök helst att lösa dem själv först. Någon uppgift (övning 6) kanske är lite mer knepig men vi kommer att gå genom detta ordentligt längre fram.
Lecture 0 :: introduktion till flervariabelanalys från ett förkunskapsperspektiv.
0
Lecture :: intro från förkunskaper
sammanfattning
Läsanvisningar::
- Avsnitt i kursboken
- Denna föreläsning handlar ju mest om förkunskaper från envariabelanalys och linjär algebra men nuddar också vid partialderivatan (kapitel 12.3) och dubbelintegraler (kapitel 14.1). Detta kommer vi tillbaka till i de kommande föreläsningarna.
Förkunskaper 1
Förkunskaper från envariabelanalys
Det hörs nästan på namnet flervariabelanalys att man studerar analys i en variabel innan man introducerar fler variabler. Sammanfattar vi envariabelanalysen så har vi åtminstone följande punkter:
- Gränsvärde och kontinuitet
- Även i flervariabelanalys används olika typer av gränsvärden och kontinuerliga funktioner är viktiga.
- Derivatabegreppet:
- I envariabelanalysen var funktionerna alltid beroende av en variabel. I flervariabelanalysen så har vi funktioner som beror av två eller flera variabler. För att studera t.ex. hur en funktion växer eller avtar m.a.p. en av variablerna så räknar man ut derivatan m.a.p. denna variabel. Denna derivata räknas ut på precis samma sätt som för envariabelfunktioner.
- Grafritning
- För envariabelfunktioner så definieras grafen \(G_f\) till \(f\) genom \(G_f=\{ (x,y)\in\mathbb{R}^2 : y=f(x)\}\) och bildar en kurva i planet. För en funktion \(g(x,y)\) i två variabler så blir grafen \(G_g=\{ (x,y,z)\in\mathbb{R}^3 : z=g(x,y)\}\) och utgör en yta i det tredimensionella rummet. Om man håller ena variabeln (t.ex. \(y=konst\) ) konstant så blir funktionens graf en vanlig kurva som man kan rita med envariabelmetoder.
- Approximation
- Taylorapproximation, eller approximation med polynom, funkar lika bra för flervariabelfunktioner. Taylorpolynomen blir då polynom i flera variabler.
- Integration
- Integration i flera variabler utföres med upprepad envariabelintegration. Alla envariabelintegrationstekniker som, substitution, partiell integration och partialbråksuppdelning kommer således att användas.
Förkunskaper 2
Förkunskaper från linjär algebra
Man tänker kanske inte på det så, men faktum är att linjär algebra är en flervariabelkurs men här är alla funktioner linjära, vilket gör alla räkningar speciellt enkla. Kursen i flervariabelanalys har nytta av flera saker från den linjära algebran:
- Reella vektorrum
- Linjär algebra introducerar vektorrum och i synnerhet våra vanliga koordinatrum \(\mathbb{R}^n\), \(n=2,3,4,\dots\). I flervariabelanalysen så kommer funktionerna vara definierade i sådana rum, speciellt kommer vi använda \(n=2\) och \(n=3\)
- Matriser
- En linjär funktioner från \(\mathbb{R}^n\) till \(\mathbb{R}^m\) är en \(m\times n\)-matris. I flervariabelanalys så är funktionerna i allmänhet inte linjära och då kommer de inte vara matriser. Men derivatan (som ju kan tolkas som linjäriseringen av en funktion i en viss punkt) till en icke linjär funktion \(f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^m\) i punkten i fråga är en \(m\times n\)-matris.
- Determinanten
- Determinanten dyker upp vid variabelbyten, då är det determinanten för derivatamatrisen man beräknar. Determinanten används även när man beräknar kryssprodukten, något som blir aktuellt under vektoranalysdelen av kursen.
- Parametriserade linjer och plan
- Parametriserade linjer och plan är viktiga enkla exempel på parametriserade kurvor och ytor och lägger grunden för att förstå de mer allmänna parameterkurvor och ytor som vi studerar i flervariabelanalys.
Hur envariabelderivering blir flervariabelderivering
Exempel 1::
Vi ska titta på hur derivering i en variabel används för att derivera funktioner som beror av flera variabler. Vi startar med funktionen \(f(x)=\sin kx\), som vi ska derivera m.a.p. \(x\) och sedan visar vi hur detta hjälper oss när vi ska beräkna partialderivatorna \[\frac{\partial F}{\partial x}\quad\text{ och }\quad \frac{\partial F}{\partial y}\] för flervariabelfunktionen \(F(x,y)=\sin xy\) med avseende på \(x\) och \(y\)
Vi ska titta på hur derivering i en variabel används för att derivera funktioner som beror av flera variabler. Vi startar med funktionen \(f(x)=\sin kx\), som vi ska derivera m.a.p. \(x\) och sedan visar vi hur detta hjälper oss när vi ska beräkna partialderivatorna \[\frac{\partial F}{\partial x}\quad\text{ och }\quad \frac{\partial F}{\partial y}\] för flervariabelfunktionen \(F(x,y)=\sin xy\) med avseende på \(x\) och \(y\)
Övning 1::
Beräkna derivatan \(f'(x)\) där \(f(x)=\sin kx\).
Lösning
\[f'(x)=\text{ använd kedjeregeln }=(\cos kx)\cdot k=k\cos kx\]
Övning 2::
Beräkna derivatan med avseende på \(x\) av \(f(x,y)=\sin yx\).
Lösning
Sätt \(y=k\) och gör som i övning 1:
\[f'(x)=\text{ använd kedjeregeln }=(\cos kx)\cdot k=k\cos kx=y\cos yx. \]
På matematiska säger vi att vi beräknar partialderivatan av \(f(x,y)\) m.a.p. \(x\) och vi skriver:
\[
\frac{\partial}{\partial x}f(x,y)=y\cos yx
\]
Video :: Partialderivata
Kort repitition av envariabelintegrering
Exempel 1::
För att integrera en envariabelfunktion \(f(x)\) så säger integralkalkylens fundamentalsats (se Adams kapitel 5.5) att man ska använda en primitiv funktion (dvs en funktion \(F(x)\) som har egenskapen att \(F'(x)=f(x)\) ) så att \[ \int_a^b f(x)dx= F(b)-F(a) \]
För att integrera en envariabelfunktion \(f(x)\) så säger integralkalkylens fundamentalsats (se Adams kapitel 5.5) att man ska använda en primitiv funktion (dvs en funktion \(F(x)\) som har egenskapen att \(F'(x)=f(x)\) ) så att \[ \int_a^b f(x)dx= F(b)-F(a) \]
Övning 3::
Beräkna envariabelintegralen \(\int_1^2 x dx.\)
Lösning ::
Eftersom \(x^2/2\) är en primitiv funktion till \(x\) så har vi
\[
\int_1^2 x dx=\left[\frac{x^2}{2}\right]_1^2=\frac{2^2}{2}-\frac{1^2}{2}=\frac{3}{2}
\]
Övning 4::
Beräkna envariabelintegralen \(\int_3^4 y^2 dy.\)
Lösning ::
Här har vi bara ett annat variabelnamn \(y\) men det är ändå en vanlig envariabelintegral som vi löser på vanligt sätt genom att hitta primitiv funktion. I detta fall så har vi att
\(y^3/3\) är en primitiv funktion till \(y^2\) och vi får:
\[
\int_3^4 y^2 dy=\left[\frac{y^3}{3}\right]_3^4=\frac{4^3}{3}-\frac{3^3}{3}=\frac{37}{3}
\]
Hur flervariabelintegrering beräknas med envariabelintegrering.
Tvåvariabelingegrering ::
Vi ska titta försöka utföra dubbelintegralen \[ \int_3^4\int_1^2 xy^2dxdy=\int_3^4y^2\left[\int_1^2 x dx\right] dy \] Tolkningen av denna är som vi ser i andra ledet att integralen beräknas genom två steg av enkelintegrering, de två steg som vi arbetade med i föregående övningar.
Vi ska titta försöka utföra dubbelintegralen \[ \int_3^4\int_1^2 xy^2dxdy=\int_3^4y^2\left[\int_1^2 x dx\right] dy \] Tolkningen av denna är som vi ser i andra ledet att integralen beräknas genom två steg av enkelintegrering, de två steg som vi arbetade med i föregående övningar.
Övning 5::
Beräkna integralen \(\int_3^4\int_1^2 xy^2dxdy\) m.h.a. upprepad enkelintegrering
Lösning ::
Vi har som angavs i ovan att
\[
\begin{split}
\int_3^4\int_1^2 xy^2dxdy &=\int_3^4y^2\underbrace{\left[\int_1^2 x dx\right]}_{=\frac{3}{2}} dy=\\
&=\frac{3}{2}\underbrace{\int_3^4y^2dy}_{=37/3}=\frac{3}{2}\cdot\frac{37}{3}=\frac{37}{2}
\end{split}
\]
Video :: Om multipelintegraler
Ett mer utmanande exempel.
Exempel 1::
I föreläsningen antyddes hur man går tillväga för att integrera en funktion över ett område som är begränsat av graferna till två funktioner. Låt oss försöka beräkna integralen \[ \iint_D xy^2 dy dx, \] där \(D\) är den begränsade mängd som avgränsas av de två funktionerna \(y=x\) och \(y=x^2\)
Vårt integrationsområde
I föreläsningen antyddes hur man går tillväga för att integrera en funktion över ett område som är begränsat av graferna till två funktioner. Låt oss försöka beräkna integralen \[ \iint_D xy^2 dy dx, \] där \(D\) är den begränsade mängd som avgränsas av de två funktionerna \(y=x\) och \(y=x^2\)
Området begränsas nedåt av \(x^2\) och uppåt av \(x\) vilket kommer att kunna användas när vi anger integrationsgränserna.
Övning 6::
Beräkna integralen \(
\iint_D xy^2 dy dx,
\)
Lösning ::
Integralen över området \(D\) kan skrivas som
\[
\begin{split}
\int_0^1x\left(\int_{x^2}^x y^2 dy \right)dx&=\int_0^1x\underbrace{\left[\frac{y^3}{3}\right]_{x^2}^x}_{=\frac{x^3}{3}-\frac{x^6}{3}}=\frac{1}{3}\int_0^1x^4-x^7 dx=\\
&= \frac{1}{3}\left[\frac{x^5}{5}-\frac{x^8}{8}\right]_0^1=\frac{1}{3}(\frac{1}{5}-\frac{1}{8})=\frac{1}{40}
\end{split}
\]
Linjärt ekvationssystem
Exempel 1::
I linjär algebra lär man sig lösa ekvationssystem av typen \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\), där \[ A=\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \\ \end{array} \right],\quad \mathbf{x}=\left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ \end{array} \right],\quad\text{ och } \mathbf{b}= \left[ \begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ 2 \\ \end{array} \right] \]
I linjär algebra lär man sig lösa ekvationssystem av typen \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\), där \[ A=\left[ \begin{array}{ccc} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 0 \\ \end{array} \right],\quad \mathbf{x}=\left[ \begin{array}{c} x \\ y \\ z \\ \end{array} \right],\quad\text{ och } \mathbf{b}= \left[ \begin{array}{c} 4 \\ 3 \\ 2 \\ \end{array} \right] \]
Övning 7::
Lös ovanstående ekvationssystem.
Lösning ::
Ställ upp den utvidgade matrisen och Gausseliminera med återsubstitution:
\[
\left[
\begin{array}{ccc|c}
1 & 3 & 2 & 4 \\
2 & 1 & -1 & 3 \\
1 & 1 & 0 & 2 \\
\end{array}
\right]\sim
\left[
\begin{array}{ccc|c}
1 & 0 & -1 & 1 \\
0 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{array}
\right]
\]
Detta ger att \(z=t\) är en fri variabel och de första raderna ger oss att \(x=z+1=t+1\) och \(y=-z+1=-t+1\) så att
vi kan skriva lösningarna på parameterform som
\[
\left[
\begin{array}{c}
x \\
y \\
z \\
\end{array}
\right]
=
\left[
\begin{array}{c}
1 \\
-1 \\
1 \\
\end{array}
\right]t+
\left[
\begin{array}{c}
1 \\
1 \\
0 \\
\end{array}
\right]=
\left[
\begin{array}{c}
t+1 \\
-t+1 \\
t \\
\end{array}
\right]
\]
Lösningen är en rät linje i tre dimensioner skriven på parameterform och vi ser att alla tre variablerna är var sin funktion av parametern.
Video :: Parameterkurvor och linjär algebra
Här är våra parameterkurvor från föregående video
Parameterkurvor
Ett till Linjärt ekvationssystem
Övning 8::
Lös ekvationssystemet \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\), där
\[
A=\left[
\begin{array}{ccc}
1 & -2 & 3 \\
-3 & 6 & -9 \\
2 & -4 & 6 \\
\end{array}
\right],\quad
\mathbf{x}=\left[
\begin{array}{c}
x \\
y \\
z \\
\end{array}
\right],\quad\text{ och }
\mathbf{b}=
\left[
\begin{array}{c}
-1 \\
3 \\
-2 \\
\end{array}
\right]
\]
Lösning ::
Ställ upp den utvidgade matrisen och Gausseliminera med återsubstitution:
\[
\left[
\begin{array}{ccc|c}
1 & -2 & 3 & -1 \\
-3 & 6 & -9 & 3 \\
2 & -4 & 6 & -2 \\
\end{array}
\right]\sim
\left[
\begin{array}{ccc|c}
1 & -2 & 3 & -1 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 \\
\end{array}
\right]
\]
Detta ger att både \(y=s\) och \(z=t\) är en fria variabler och den första raderna ger oss att \(x=2y-3z-1=2s-3t-1\) så att
vi kan skriva lösningarna på parameterform som
\[
\left[
\begin{array}{c}
x \\
y \\
z \\
\end{array}
\right]
=
\left[
\begin{array}{c}
2 \\
1 \\
0 \\
\end{array}
\right]s+
\left[
\begin{array}{c}
-3 \\
0 \\
1 \\
\end{array}
\right]t+
\left[
\begin{array}{c}
-1 \\
0 \\
0 \\
\end{array}
\right] \]
Lösningen är ett plan på parameterform (Som ekvation kan planet också beskrivas med \(x-2y+3x=-1\) som ju är den första ekvationen i den eliminerade matrisen)
Video :: Parameterytor.
Här är våra parameterytor från föregående video
Parametetriska planet
Torusytan