Föreläsning 5 :: implicita funktionssatsen

Lecture :: implicita funktionssatsen

sammanfattning

I denna föreläsning tittar vi på Implicita Funktionssatsen (IFS) som är en av de vikigaste satserna vi stöter på i denna kurs. Dock ligger fokus i denna kurs lite vid sidan av denna sats men vi gör här en kort genomgång över poängen med satsen: IFS talar om för oss hur vi kan använda linjäriseringen av ett ekvationsssystem för att avgöra om systemet möjliggör att vissa variabler kan uttryckas mha de övriga. Linjäriseringen av ekvationssystemet är ett linjärt ekvationssystem och detta blir helt enkelt en matrisekvation som vi kan avända linjär algebra till att lösa. IFS låter oss att använda Linjär algebra för att göra flervariabelanalys!

Läsanvisningar::

Avsnitt i kursboken: Detta material svarar mot Adams Kapitel 12.8.

Implicita funktionssatsen

En formulering av implicita funktionssatsen Låt \[ \mathbb{F}(\mathbf{x},\mathbf{y})=(F_1(\mathbf{x},\mathbf{y}),\dots,F_n(\mathbf{x},\mathbf{y})), \] där \(\mathbf{x}=(x_1,\dots,x_m)\) och \(\mathbf{y}=(y_1,\dots,y_n)\) vara en (tillräckligt kontinuerligt deriverbar) avbildning från \(\mathbb{R}^{m+n}\to\mathbb{R}\) Om delmatrisen (med komponentfunktioneras partialderivator m.a.p. \(y\)-variablerna) \[ \left[ \begin{array}{ccc} \frac{\partial F_1}{\partial y_1} & \cdots & \frac{\partial F_1}{\partial y_n} \\\ \vdots & \dots & \vdots \\ \frac{\partial F_n}{\partial y_1} & \cdots & \frac{\partial F_n}{\partial y_n} \end{array} \right]_P \] är inverterbar i punkten \(P\) Matrisen ovan är en delmatris av den totala derivatamatrisen \[ D\mathbb{F}=\left[ \begin{array}{cccccc} \frac{\partial F_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial F_1}{\partial x_m} & \frac{\partial F_1}{\partial y_1} & \cdots & \frac{\partial F_1}{\partial y_n} \\\ \vdots & \cdots & \vdots&\vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial F_n}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial F_n}{\partial x_m} & \frac{\partial F_n}{\partial y_1} & \cdots & \frac{\partial F_n}{\partial y_n} \end{array} \right]_P, \] Inverterbarheten för den \(n\times n\)-matrisen innebär att totalderivatamatrisen har full rang \(n\) och \(x_1,\dots ,x_m\) kan tolkas som de fria variablerna i det linjära systemet \[ D\mathbb{F}|_p [(\mathbf{x},\mathbf{y})-P] =\mathbf{0} \] Detta innebär att variablerna \(y_1,\dots, y_n\) kan lösas ut och uttryckas med de fria.

Detta säger implicita funktionssatsen::

Om \(P\) uppfyller \(\mathbb{F}(P)=\mathbf{0}\) och vi har den ovan nämnda inverterbarheten i \(P\), så att \(\mathbf{y}\) kan lösas ut mha de fria variablerna \(\mathbf{x}\) ur det linjära systemet ovan.

Då kan variablerna \(y_1,\dots,y_n\) lösas ut som funktioner av \(x_1,\dots, x_m\) också från det ickelinjära ekvationssystemet \[ \mathbb{F}(\mathbf{x},\mathbf{y})=\mathbf{0} \]

Lösbarheten för ett allmänt system kan alltså avgöras från motsvarande linjära system.

Video :: om implicita funktionssatsen

Övning 1 :: cirkeln

Övning ::

Använd implicita funktionssatsen för att avgöra om man ur ekvationen \[ x^2+y^2=1 \] kan lösa ut \(y\) som funktion av \(x\) i närheten av

a.) \(p_1=(\sqrt{2}/2,\sqrt{2}/2)\)

b.) \(p_2=(1,0)\)

Lösning ::

Skriv om ekvationen som \[ \underbrace{x^2+y^2-1}_{f(x,y)}=0 \] Linjäriseringen av denna ekvation i en punkt \(p=(p_x,p_y)\) blir \[ 2x|_p(x-p_x) +2y|_p(y-p_y)=0 \] Vi kan lösa ut \(y\) ur denna ekvation bara om \(2y|_p\neq 0\) vilket ger att detta går bra om \(p=p_1\) och fungerar inte om \(p=p_2\).

Video: Exempel cirkeln

Två ekvaitoner i tre variabler :: Övning 2

Övning 2 ::

Använd Implicita funktionssatsen för att avgöra om vi kan skriva \(x\) och \(z\) som funktioner av \(y\) m.h.a. ekvationssystemet \[ \begin{cases} x^2+y^2+z^2 &= R^2,\quad R^2\geq 2, \\ xy & =1 \end{cases} \] i närheten av punkten \(P=(1,1, r)\), där \(r=\sqrt{R^2-2}\).

Lösning ::

Skriv om systemet på formen \[ \begin{cases} \underbrace{x^2+y^2+z^2 -R^2}_{=f_1(x,y,z)}&=0, \\ &\\ \underbrace{ xy -1}_{=f_2(x,y,z)}& =0 \end{cases} \] och linjärisera det. Detaljerna finns i den efterföljande videon. Här följer en cdf över situationen.

Video: Exempel: två ekvationer i två variabler