Beräkna gradienten till funktionen \(f(x,y,z)=x\cdot y\cdot z\) i punkten \(p=(1, 2,-3)\)

Vi beräknar gradienten genom att beräkna de olika partialderivatorna, ställa upp dem som radvektor och sedan beräkna derivatorna i \(p\): \[ \begin{split} \nabla f|_{(1,2,-3)}&= \left[\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\right]_{(1,2,-3)}=\\&\\ &=\left[yz,xz,xy \right]_{(1,2,-3)}=[-6,-3,2] \end{split} \]

Visa att nivåkurvorna till funktionerna \(f(x,y)=x^2+y^2\) och \(g(x,y)=xy\) är parallella i punken \((x,y)=(3,3)\).
Vad kan man säga om riktningsderivatan i tangentens riktning?

Nivåkurvornas tangenter är parallella precis om tangenternas normalvektorer är parallella. Efterom dessa normalvektorer ges av gradienterna till våra funktioner behöver vi alltså visa att \(\nabla f\) och \(\nabla g\) är parallella i den aktuella punkten. Vi får \[ \nabla f|_{(3,3)}=\left[\frac{\partial{f}}{\partial x},\frac{\partial{f}}{\partial y}\right]_{(3,3)} =[2x,2y]_{(3,3)}=[6,6] \] \[ \nabla g|_{(3,3)}=\left[\frac{\partial{g}}{\partial x},\frac{\partial{g}}{\partial y}\right]_{(3,3)} =[y,x]_{(3,3)}=[3,3] \] Vi har alltså fått fram att \(\nabla f=2\nabla g\) i punkten vilket innebär att gradienterna är parallella vilket alltså medför att tangentlinjerna till nivåkurvorna är parallella i \((3,3)\)
I nästa föreläsningsvideo visar vi att riktningsderivatan \(Df_{\mathbf{u}}\) i riktningen \(\mathbf{u}\) beräknas med skalärprodukten \[ Df_{\mathbf{u}}=\mathbf{u}\bullet\nabla f \] Eftersom tangentriktningen är ortogonal mot normalriktningen så blir denna skalärprodukt noll om \(\mathbf{u}\) är en vektor i tangentens riktning.

Försök i figuren på nästa slide avgöra för vilken vinkel i förhållande till gradienten som riktningsderivatan är noll och vad har det med nivåkurvornas tangenter att göra?

Börja med att försöka placera fotpunkten (klicka i figuren) i en position där gradienten ger en vertikal vektor.
Detta innebär att man måste välja en punkt där \(x=0\).
Variera nu den gröna vektorn (med reglaget högst upp (klicka också på det lilla +tecknet till höger om t-slidern så att man kan se värdena på \(t\) som är vinkeln mellan \(\mathbf{u}\) och \(\nabla f\)) så att den gröna vektorn blir vinkelrät mot gradienten.
Notera att vinklarna är angivna i radianer.
Det man bör kunna se är att när \(\mathbf{u}\) är vinkelrät mot gradienten så blir riktningsderivatan noll och detta ser man om den röda vektorns längd blir noll.

Försök i figuren på föregående sida avgöra för vilken vinkel i förhållande till gradienten som riktningsderivatan är som störst och vad har det med nivåkurvornas tangenter att göra?

Börja med att försöka placera fotpunkten någonstans i figuren så att hela den blå gradientvektorn blir synlig.

Variera nu den gröna vektorn (med reglaget högst upp Försök hitta den riktning som den gröna vektorn ska ha för att den röda riktningsderivatan ska bli så stor som möjligt.
Det man bör kunna se är att när \(\mathbf{u}\) är parallell mot gradienten så blir riktningsderivatan faktiskt lika med gradienten och detta är alltså den riktning som vi måste välja för att riktningsderivatan ska få sitt maximum. Maxiala riktningen pekar alltså vinkelrät mot nivåkurvorna och gradienten pekar alltså vinkelrät mot nivåkurvorna och följdaktligen också i den riktning där funktionen ökar mest.