@tfk12esi
\(f\) verkar vara en funktion av en reell variabel (jag kallar denna för \(t\)).
Denna funktion sammansätts med funktionen \(x^2+y^2\) (man sätter \(t=x^2+y^2\)) och blir då en funktion \(f(x,y)\) av två variabler.
Uppgiften är nu att hitta en speciell funktion \(f\) som gör att den sammansatta funktionen blir harmonisk.
Harmonisk ger att vi behöver beräkna summan av de två andraderivatorna map x och y:
Derivering ger:
\[
\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=\frac{df}{dt}\frac{\partial t}{\partial x}=f’ \cdot 2x\quad\Rightarrow\quad
\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial x^2}=2f’+ 2x\cdot (f’‘\cdot 2x)= 2f’+4x^2 f”
\]
på samma sätt för \(y\) ger:
\[
\frac{\partial^2 f(x,y)}{\partial y^2}=2f’+ 2y\cdot (f’‘\cdot 2y)=2f’+4y^2 f”
\]
Harmoniskheten säger att summan av andraderivatorna ska vara noll, och detta ger:
\[
4f’+4(x^2+y^2)f”=0
\]
Dividerar vi båda led med koefficienten \(k=4(x^2+y^2)\) så får vi differentialekvationen
\[
f”+\frac{1}{k} f’=0
\]
Eftersom derivatorna är m.a.p. \(t\) så är differentialekvationen en homogen d.e. av andra ordningen med konstanta koefficienter. (det står lite grand om detta i Adams bok)
En lösning blir \(e^{-kt}\)...
Eftersom vi var tvungen att lösa en differentialekvation så ligger denna uppgift strax utanför vår kurs, men kan vara intressant för den som läst en kurs i differentialekvationer.
mvh:-)
