Här är några svar:

1. Det är riktigt: om \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2\), \(g:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^3\) och \(h:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^4\) så gäller att sammansättningsfunktionen \(S:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^4\) blir

\[S(x)=h(g(f(x)))\]

Derivatamatriserna är linjära funktioner mellan rummen så att vi t.ex har \(Df:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2\) och är således en \(2\times 1\)-matris. De andra derivatornamatriserna har motsvarande format: \(Dg\) är \(3\times 2\) och \(Dh\) är en \(4\times 3\)-matris.

Derivatamatrisen \(DS\), som är en \(4\times 1\)-matris blir nu matrisprodukten \(DS=Dh\cdot Dg\cdot Df\).
Det är inte svårt att se att formaten i denna matrisprodukt är kompatibla:
\[
4\times 1=(4\times 3)\cdot (3\times 2)\cdot (2\times 1)
\]

Det ser ut som Du tänkt rätt… bra!

2. Tangentlinjen till nivåkurvan beräknas enklast på följande vis. Nivåkurvan ligger i det tvådimensionella planet och en rät linje i planet beskrivs enklas mha vektorer som
\[
  l(t)=\mathbf{v}t+\mathbf{p},
\]
där linjens riktningsvektor är \(\mathbf{v}\) och \(\mathbf{p}\) är den punkt vi är i då \(t=0\).

Att en rät linje är en tangentlinje till nivåkurvan i punkten betyder att linjens riktningsvektor är vinkelrät mot nivåkurvans normalvektor och denna normalvektor ges av gradienten till funktionen i den aktuella punkten.

Om gradientvektorn till funktionen i punkten är
\[
    \nabla f|_p=(n_x,n_y)
\]
så får vi enklast en vinkelrät \(\mathbf{v}\) vektor genom att definiera
\[
\mathbf{v}=(n_y,-n_x)
\]
Vinkelrätheten kan lätt kontrolleras mha skalärprodukten. (den ska bli noll…)

Hoppas detta går att begripa!

Hejsan alla glada som läser detta.

Idag har jag två frågor…

Den första handlar om kedjeregeln och lyder så här: Om vi har en sammansättning i flera steg t ex, säg R -> R^2 -> R^3 -> R^5, och funktionerna som ger oss avbildningarna heter f (R -> R^2), g (R^2 -> R^3) och h (R^3 -> R^5), kommer då den sammansatta funktionen räknas ut på följande vis. Vi h(g(f)), vilket innebär att vi först räknar ut Derivatamatrisen för g och f, och sedan multiplicerar de för att få  produkten dvs deras Derivatamatris och sedan räknar ut h:s derivata matris och sedan enligt regeln för matrismultiplikation multiplicerar den i sin tur med produkten av Dg * Df. Det borde vara rätt tänkt men jag måste ändå ventilera med er?

Fråga nummer två handlar om derivator. I t ex uppgift 12.7.5 ska man hitta ekvationen för tangenten till nivåkurvan i punkten. Det gör man ju enkelt, men det som vållar problem är att det finns två derivator iom att det finns en negativ derivata och positiv pga rottecknet. Det kluriga är, vilken derivata vet man att man ska använda. Det räcker uppenbarligen inte att titta på vilken kvadrant punkten ligger i, det avgör inte derivatans tecken. Alternativet som återstår vad jag kommer på är att rita eller visualisera kurvan i huvudet och då förstå vilken derivata man ska använda.