Jag bytte till polära koordinater och medan jag försökte lösa fick jag för mig att jag inte hade glömt \(r\). Men jag såg nu efteråt att jag gjorde det ändå...

Integralen är alltså
\[
\iint_Q y dA,
\]
där \(Q\) är kvartscirkeln \(x^2+y^2\leq a^2\) som ligger i första kvadranten.
Här har vi två möjligheter.

1. Använd \(x\) och \(y\) koordinaterna: vilket ger oss integralen
\[
\begin{split}
\int_0^a\int_0^{\sqrt{a^2-x^2}} y dx dy &= \int_0^a \frac{a^2-x^2}{2} dx=\cdots=\\
                          &=\frac{a^3}{2}-\frac{a^3}{6}=\frac{a^3}{3}
\end{split}
\]

2. Byt till polära koordinater \(x=r\cos \theta\),\(y=r\sin\theta\), \(dxdy=r drd\theta\) och \(Q\) kan beskrivas som
\[
Q=\{ (r,\theta) : 0\leq r\leq a, 0\leq\theta\leq \pi/2\},
\]

vilket ger att vår integral blir
\[
\begin{split}
\int_0^{\pi/2}\underbrace{r\sin\theta}_{=y} \underbrace{rdrd\theta}_{dA}&=\int_0^{\pi/2}\int_0^a r^2\sin\theta drd\theta=\\
&=\int_0^{\pi/2} \left[\frac{r^3}{3}\right]_0^a \sin\theta d\theta=\frac{a^3}{3}\underbrace{[-\cos\theta]_0^{\pi/2}}_{=1}
\end{split}
\]
Kan Du möjigen ha glömt \(r\) i \(dA=rdrd\theta\)?

När jag försöker lösa 14.4.7 får jag \(\dfrac{a^{2}}{2}\) istället för \(\dfrac{a^{3}}{3}\) som ska vara lösningen enligt boken (Adams sixth edition). Hur ska man göra för att få det resultatet? Jag har försökt några gånger men fick samma svar hela tiden.