Har en fråga angående gränsvärde.

då x går mot 0, Varför går då \(ln( 1+2x^2)/2x^2 \)gå mot 1?

@ErikP

Jag antar att Du frågar om gränsvärdet
\[
    \lim_{x\to 0} \frac{\ln(1+2x^2)}{2x^2}\quad\text{ och inte }\quad\lim_{x\to 0} \ln\left(\frac{1+2x^2}{2x^2}\right)
\]
(det högra gränsvärdet blir inte 1 utan ser ut att inte existera…)

Ett alternativ är att använda L’Hopitals regler:

Eftersom kvoten
\[
\frac{\ln(1+2x^2)}{2x^2}\to \frac{[0]}{[0]}
\]
som är en obestämd form (Det är matematiskt tvetydigt vad får vi om vi dividerar noll med noll!)
Man kan då anväda de så kallade l´Hopitals regler (Finns i Adams bok kapitel 4.3 typ) som bl.a. säger
om \(f(x)\to 0\) och \(g(x)\to 0\) då \(x\to 0\) så gäller
\[
\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to 0} \frac{f'(x)}{g'(x)} =L
\]
förutsatt att gränsvärdet för kvoten av derivatorna existerar.
Observera att man inte använder kvotregeln utan deriverar täljare och nämnare var för sig.

I vårt fall så gäller följdaktligen att vårt gränsvärde blir
\[
\begin{split}
\lim_{x\to 0} \frac{\ln(1+2x^2)}{2x^2}&=\frac{[0]}{[0]}\Rightarrow\text{l'Hopital :: derivera täljare och nämnare för sig}\Rightarrow \\&=\lim_{x\to 0} \frac{\frac{4x}{1+2x^2}}{4x}
=\lim_{x\to 0} \frac{1}{1+2x^2}=1
\end{split}
\]

Alternativt kan man utnyttja Taylorutveckling som ger att
\[
\ln(1-x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3} +\dots
\]
vilket leder till att
\[
\frac{\ln(1+2x^2)}{2x^2}=\frac{2x^2 -\frac{4x^4}{2}+\dots}{2x^2}= 1+x^2+\dots\quad\to 1,\quad x\to 0
\]