@tlm11lvn
Detta är en bra fråga!
Ert problem ligger i att funktionen i uppgift 13.1.17 är en funktion av tre variabler. Då funkar inte andraderivatatestet i den form vi ställt upp.
Så hur gör man då i detta fall?
Vi har minst två möjligheter om vi ska använda Hessianen:
1. Man använder Adams andraderivatatestet och undersöker Hessianens “definithet”. Detta kräver antingen att man konsulterar en Linjär algebrabok (Lay kapitel 7.2 t.ex.) eller Adams kapitel 10. Då får man veta att man ska beräkna egenvärdena för matrisen. I vårt fall har man
\[
H(1,1,1/2)=
\left[
\begin{array}{ccc}
-1 & 1 & 2 \\
1 & 0 & 0 \\
2 & 0 & -2 \\
\end{array}
\right]
\]
Egenvärdena är nollställena till det karakteristiska polynomet
\[
\det[H-\lambda I)=-\lambda ^3-3 \lambda ^2+3 \lambda +2
\]
Men dessa egenvärden är mycket svåra att beräkna för hand. Mathematica ger följande numeriska svar:
\[
\{-3.66908,1.1451,-0.476024\}
\]
Detta visar alltså att egenvärdena är både positiva och negativa vilket är ett tecken på att hessianmatrisen är en indefinit matris och därför enligt Adams andraderivata test ger oss en sadelpunkt.
2.Följande variant av vårt andraderivata test.
Vi utgår från Hessianen och följande delmatris \(M\):
\[
H=
\left[
\begin{array}{ccc}
f_{\text{xx}} & f_{\text{xy}} & f_{\text{xz}} \\
f_{\text{yx}} & f_{\text{yy}} & f_{\text{yz}} \\
f_{\text{zx}} & f_{\text{zy}} & f_{\text{zz}} \\
\end{array}
\right]\quad
M=\left[
\begin{array}{cc}
f_{\text{xx}} & f_{\text{xy}} \\
f_{\text{yx}} & f_{\text{yy}} \\
\end{array}
\right]
\]
Då kan vi säga att
1. Om \(f_{xx}>0\), \(\det M>0\) och \(\det H>0\) i en viss kritisk punkt. Då har f ett lokalt minimum i denna punkt.
2. Om \(f_{xx}<0\), \(\det M>0\) och \(\det H<0\) i en kritisk punkt så har \(f\) ett lokalt maximum där.
3. I alla andra fall där \(\det H\neq 0\) i en kritisk punkt så har \(f\) en sadelpunkt.
Detta fall kan man läsa om i
Sittinger :: The Second Derivative Test in n variables.
För den aktuella uppgiften så har vi att
\[
\det H=2,\quad \det M=-1\quad \text{ samt }\quad f_{xx}=-1
\]
Detta ger att det är fallet sadelpunkt som gäller även här!
I Adams lösningar så hittar man en tredje variant där man tittar på skillnaden mellan funktionens värden i den aktuella punkten och i en punkt i närheten. Detta blir i princip andra ordningens taylorutveckling och vi får ett andragradspolynom i tre variabler. Tittar man på hur dessa varierar så kan man sluta sig till att funktionensvärde ökar i vissa riktningar och avtar i andra vilket kännetecknar en sadelpunkt.
Detta blev ju ganska långt men jag hoppas att det är till nytta!
