I slutet av Föreläsning 3, Specialfall 2 kommer vi fram till att:
\[
Df \cdot DS =
\begin{bmatrix}
\frac{\partial f}{\partial x} & \frac{\partial f}{\partial y}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\frac{\partial x}{\partial s} & \frac{\partial x}{\partial t} \\ \frac{\partial y}{\partial s} & \frac{\partial y}{\partial t}
\end{bmatrix}
=\]

\[=
\begin{bmatrix}
  \frac{\partial f}{\partial x}\cdot\frac{\partial x}{\partial s}+\frac{\partial f}{\partial y}\cdot\frac{\partial y}{\partial s} & , & \frac{\partial f}{\partial x}\cdot\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial y}\cdot\frac{\partial y}{\partial t} 
\end{bmatrix}
\]

Och jag undrar givetvis om man kan förkorta bort partialderivatorna på samma sätt som man gör annars med kedjeregeln? Dvs:
\[=
\begin{bmatrix}
  \frac{\partial f}{\partial s}+\frac{\partial f}{\partial s} & , & \frac{\partial f}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial t} 
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
  \frac{2\cdot\partial f}{\partial s} & , & \frac{2\cdot\partial f}{\partial t} 
\end{bmatrix}
\]

Är detta tillvägagångssätt korrekt?

Detta ska man nog vara försiktig med.
Vad jag förstår från din fråga är om man får stryka \(\partial x\) eftersom denna står både i täljare och nämnare.

Följande räkning kanske belyser problemet

\[
\begin{split}
\frac{\partial f}{\partial s}&=\text{ kedjeregeln }= \frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial s}+
\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial s}=\\
&=\text{ enligt din strykningsmetod }= 2 \frac{\partial f}{\partial s}
\end{split}
\]
Det enda tal som uppfyller detta är 0 så strykningsmetoden verkar leda till problem.

Alltså, man får inte stryka på detta vis.

Jag tror att jag förstår. Jag tänkte mig att \(\partial x\) representerade ett värde. Och efter lite tänkande kom jag fram till att detta gäller om och endast om \(y\) är konstant. Vice versa för \(\partial y\) pch \(x\). Och då är det ju bara nonsens att prata om deras derivator, när det är konstanta funktioner.