Hej!
Jag vet att jag hade lite problem med det här avsnittet i boken men tänkte att det kanske klarnar i och med en uppgift men nej, så var inte fallet..

Jag sitter nu med inlämningsuppgift 5 och får inte riktigt kläm på hur jag ställer upp integralerna. Har några frågor per uppgift:

Uppgift 1:
Jag har ritat en bild, och skrivit upp intervallet men det jag räknat ut måste vara området mellan
\[ x^2 \] och \[ \sqrt{x} \] området ska ju också vara inom cirkeln \[ x^2+y^2=1 \] men tror inte jag får med det i min integral, ska det göras ett variabelbyte i den här uppgiften?

Uppgift 2:
Variabelbytet i den här uppgiften med dubbelintegral var kan jag hitta information om det? Det jag lyckats med är en väldigt svårlöst integral.

Uppgift 3:
även här har jag problem att ställa upp integralerna och vilka gränser som ska vara.

Uppgift 4:
Jag förstod inte riktigt hur jag ska få fram koordinaterna i uppgift b samma det som efterfrågas i c.

Har suttit och försökt klura hela dagen och känner nu att jag inte kommer någon vart med det här.

Mvh // Karin Söderlund

Hejsan!

för uppgift 1 så är det integrationsområdet man ska fokusera på. Det visar sig att man behöver dela upp det i två y-enkla (eller två x-enkla) områden. y-enkla områden ligger mellan två funktioner av x. Rita de tre kurvorna noggrannt och beräkna skärningspunkterna så hittar du var uppdelningen ska ske.

Uppgift 2:: variabelbyten behandlas i kursboken kapitel 14.4.

Uppgift 3:: här gäller det att öva på sfäriska och cylindriska koordinatsystem (kapitel 14.6)

Uppgift 4:: För att beräkna koordinaterna så behöver man beräkna integralerna \(M_{yz}\) och \(m\) som står omnämnda i uppgiften. Koordinaterna är de angivna kvoterna mellan dessa integraler.
En hint för att identifiera sfären och dess centrum. Multiplicera \(r=2a\cos\phi\) med \(r\) i båda led och använd
sfäriska koordinaterna för att överföra till \(x\), \(y\) och \(z\). Man behöver sedan flytta om och göra en kvadratkomplettering m.a.p. z.

Hej!
Tack för svar!

Uppgift 1 kan jag ha klurat ut men om jag nu gjort rätt var det mycket potenser och mycket rottecken men men den får vara.

Däremot variabelbytet i uppgift 2 fungerar inte, jag har försökt med polära koordinater men tycker svaret blir så konstigt och väldigt svåra integraler, dessutom är jag inte överens med mathematica på den uppgiften utan den säger ett helt annat svar än det jag får fram 😊

Det samma gäller variabelbytet i uppgift 3, jag har kommit förbi de sfäriska koordinaterna men fastnat på de cylindriska, är de krångligare är sfäriska? Hänger inte riktigt med i boken hur allt ska göras eller hur vet man gränserna för \( \phi \)?

Mvh // Karin Söderlund

Om du behöver mer tid att tänka på denna uppgift så notera att jag har förlängt deadlinen till på måndag 26 maj.

I uppgift 2 är det viktigt att rita upp området ordentligt och uttrycka området i polära koordinater. Detta gör integrationsgränserna mycket enklare. Kom ihåg att dA=dxdy ska ersättas med motsvarande för polära koordinater.  Integralen blir också ganska lätt med en enkel substitution.

Cylindriska koordinater är Polära koordinater i xy-planet och med z som den tredje variabeln. Cylindriska koordinater är enklare att jobba med men valet mellan cylindriska och sfäriska koordinater beror på situationen. Om vi har cirkulär symmetri via rotation runt z-axeln medan z är begränsat av funktion av x och y så är ofta cylindriska koordinater användbara.
Sfäriska koordinater är bäst när vi har sfärisk symmetri. Ibland går det bra att uttrycka integrationsområdet i både cylindriska och sfäriska koordinater. Uppgift 3 är ett sådant fall.

När du säger \(\phi\) så menar du väl \(\theta\) eftersom du pratar om cylindriska koordinater där vi använder \((z,r,\theta)\) och \(r\) och \(\theta\) är samma sak som de polära koordinaterna. \(\theta\) vinkeln i cylindriska koordinater är dessutom samma som \(\theta\) vinkeln i sfäriska koordinater. \(\phi\) vinkeln finns bara i sfäriska koordinater och är vinkeln som utgår från \(z\)-axeln.

p.s. Latexkod för vinklarna

\(\theta\)

\(\theta\)

\(\phi\)

\(\phi\)