Hej!
Jag sitter och har fastnat på första frågan, har gått igenom tidigare lektioner men kommer inte fram till något.

Jag vet hur Lagrange funktionen fungerar vid uträkningen, det jag fastnade på är hur ställer jag upp den? Vilken funktion ska in på första platsen (f) för jag förmodar att den givna funktionen är den som multipliceras med lambda (g).

Hoppas du förstår min fråga. Förresten var var det informationen ang att skriva LaTeX fanns?

Mvh // Karin Söderlund

@KarinSöderlund

Som Du kan se t.ex. i Adams kapitel 13.3 så används ju Lagrangefunktionen för att ställa upp ett problem där en funktion, säg \(f(x,y)\) ska maximeras/minimeras givet ett bivillkor som man kan skriva som \(g(x,y)=0\). Lagrangefunktionen blir då
\[
L(x,y,\lambda)=f(x,y)+\lambda\cdot g(x,y),
\]

alltså den funktionen som ska maximeras/minimeras först och bivillkoret tillsammans med \(\lambda\).

Ta alltså reda på vad som ska maximeras/minimeras och vad som är bivillkoret och då blir uppställningen lättare.

Latex::
Se Forumtråden http://www.flervariabelanalys.se/forums/viewthread/2/

Se även videon som finns på datorlabbsidan http://www.flervariabelanalys.se/datorlaboration

i slutet på den videon visar jag hur man kan använda mathematica för att generera \(\LaTeX\)-kod. Det vore roligt om ni försökte er på detta!

Det finns jättemycket hjälp på internet. Ställ gärna en fråga “How to typeset ....... in latex” så får ni säkert hjälp…

En gratisbok https://www.tug.org/twg/mactex/tutorials/ltxprimer-1.0.pdf

Denna bok behandlar i första hand hur man skapar pdf-dokument med latex.  Men det finns ett kapitel om hur man skriver matematiska formler i latex, som kan vara användbart. Notera dock att de använder enkla dollar tecken för inlinematematik

$\sin x$

och dubbla dollartecken

$$\sin x$$

för formler på egen rad.

Enkla dollartecken inte fungerar här i forumet använd då

\( latexkod för formeln här \)

för formler i en mening. Dubbla dollartecken tycks funka men jag föredrar

\[ latex kod \]

för att skriva formler på egen rad. Prova gärna själva!

Ställ gärna latex-frågor i forumtråden för latex som länkades till i ovan.

Tack för svar!

Det jag inte riktigt förstår är hur kommer jag fram till bivillkoret när man som i det här fallet inte har det exakt givet utan det är bara angivet att det ska vara kortaste avståndet från origo till nivåytan. Har kollat igenom kapitlet men inte hittat någonstans var siffrorna kommer ifrån i t ex lösningarna på de uppgifter som liknar den här.

När jag ändå skriver kan jag ju passa på att fråga om de andra två uppgifterna också

fråga 2:
Jag har ställt upp ekvationen
\[
L(x,y,z) = xyz + \lambda(x^2/a^2 + y^2+b^2 + z^2+c^2)
\]

\[
L(x,y,z) = xyz + \lambda(x^2/a^2 + y^2+b^2 + z^2+c^2)
\]

försökte först med LaTeX men det gick inte, hur ska det klistras in i forumet?

Har jag tänkt rätt med den ekvationen? Sedan har jag tagit partialederivatorna och sedan har jag fastnat, jag borde ju kunna bryta ut men vilken variabel är bäst att bryta ut i det här fallet?

Fråga 3
Har läst ditt svar från den andra tråden men ska
\(x^2+y^2=1\) diagonaliseras på samma sätt som den andra, förstår inte riktigt vad som menas med att de ska uttryckas i den nya koordinaterna. Har börjat med d just för att arbeta med färre variabler men fastnat.

\(x^2+y^2=1\)

Mvh // Karin

Hejsan Karin!

Jag tog mig friheten att rätta din \(\LaTeX\)-kod. Det som saknades var att du inte omgett latexkoden med backslash-paranteser. Jag lade in latexkoden också så att du kan se exakt vad jag menar.

Det finns en föreläsning om Lagrange och även en miniföreläsning (nr 2) som kan hjälpa till lite. Lösningarna till Adams alla uppgifter finns ju också på kursbokssidan.

Fråga 1: bilvillkoret är den ekvation som står i uppgiften där du skrivit om den så att det står noll i höger led.
du ska optimera avståndsfunktionen eller kvadraten av avståndsfunktionen (vilket är enklare)

Fråga 2: \(x\cdot y\cdot z\) blir nog inte riktigt rätt volym. Observera att ellipsen sprider ut sig i flera oktanter och samma måste gälla för lådan. Sedan så är uttrycket i parantesen multiplicerad med \(\lambda\) inte rätt men detta kanske bara beror på att du försökt skriva i latex rätt uttryck är
\[
\lambda\cdot(x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2 -1)
\]
Derivering av Lagrangefunktionen m.a.p x, y och z ger nästan samma uttryck. Det finns ett sätt, multiplikationer, som gör att vi får mera symmetriska uttryck och som förenklar det hela. Jag kan dock inte avslöja tricket ännu.

Fråga 3: När du diagonaliserar den kvadratiska formen så får du fram en basbytes matris \(P\) och ett basbyte
$$
\left[
\begin{array}{c}
x \\
y \\
\end{array}
\right]=
P\left[
\begin{array}{c}
X \\
Y \\
\end{array}
\right]
$$
Använd nu detta för att göra om \(x^2+y^2=1\). Börja med att skriva detta
på matrisform
$$
x^2+y^2=
\left[
\begin{array}{cc}
x & y \\
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
x \\
y \\
\end{array}
\right]=\left[
\begin{array}{c}
x \\
y \\
\end{array}
\right]^T\left[
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
x \\
y \\
\end{array}
\right]
$$
I detta matrisuttryck kan du nu göra det föreslagna basbytet. Det är resultatet av detta man ska svara på i uppgift 3c.

Hej!
Tack för svar och tack för rättningen av LaTeX-koden tror jag förstår hur jag gör nu, dock förstår jag inte hur det kan ha blivit så fel för det var inte den ekvationen jag skrev från början.

Jag tror jag kan ha förstått fråga 1 men kan lika gärna tänkt helt galet också för det känns som ett konstigt svar men jaja, du kanske kan återkoppla efter jag lämnat in vad jag gjort fel?

Fråga 2, en rektangels ekvation är xyz, hur ska den göras om för att behandla även de i andra oktanter? Jag förstår inte, är det absolutbeloppet av de tre?

Den här inlämningsuppgiften var svårare än jag trodde och jag trodde jag hade bättre koll på Lagrange än jag har.

Fråga 3 igen också. Visst skulle matriserna ortonormeras eller ska de står kvar i den form de har efter diagonaliseringen?. Ska de byta bas till P{X,Y}? men det är väl samma i matrisen till x^2+y^2?.

Det kör ihop sig i mitt tänkande när jag ska lösa uppgift a, det är för många variabler och jag får inte till det.

Jag kommer ingen vart med den här inlämningen…

Mvh // Karin Söderlund

Det går inte så smidigt här heller. Mindre än vad jag trodde iallafall. Fråga 2 är nog ok men för den första tyckte jag också att jag fick ett konstigt svar. Jag gjorde om allt flera gånger men kom fram till samma svar.
Den tredje kollar jag på nu. Jag ska försöka göra på samma vis som i en tidigare uppgift men vet däremot inte om jag gjorde rätt där. Finns det lösningar tillgängliga efter en deadline så man kan jämföra med sina egna svar?

Notera att jag förlängt deadlinen av denna uppgift en vecka; ny deadline = 20140521.

@Karin

\[
x\cdot y\cdot z
\]
är volymen av en låda som har ena hörnet i origo och det motstående hörnet i punken \((x,y,z)\) som ska ligga på ellipsoidytan. Denna låda är för liten. Den låda vi söker har alla sina hörn på ellipsoiden.

Fråga 3:: Den diagonaliserande matrisen P ska ha egenvektorerna som kolonner. Egenvektorerna till olika egenvärden är automatiskt ortogonala och normerar man egenvektorerna så får de dessutom längden 1. Dessa ortonormerade egenvektorerna ska alltså bilda matrisen P och nu matrisen är då ortogonal eftersom kolonnerna är ortonormala. Den diagonaliserande matrisen P är alltså ortogonal och då gäller \(P^T=P^{-1}\) (transponatet är lika med inversen)

När du nu utför basbytet som jag skrev ut explicit i ovan så har vi
\[
x^2+y^2=
\underbrace{\left[
\begin{array}{c}
x \\
y \\
\end{array}
\right]^T}_{=\left(P\left[
\begin{array}{c}
X \\
Y \\
\end{array}
\right]\right)^T}
\left[
\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{array}
\right]
\underbrace{\left[
\begin{array}{c}
x \\
y \\
\end{array}
\right]}_{P\left[
\begin{array}{c}
X \\
Y \\
\end{array}
\right]} =\dots
\]

Man behöver använda en räkneregel för hur man hanterar transponering av en produkt. Man behöver också utnyttra att matrisen i mitten är identitetsmatrisen.

Matrisen P får du när du diagonaliserar den kvadratiska formen q men man behöver inte räkna ut den explicit utan man behöver bara utnyttja egenskapen att det är en ortogonal matris.

Nu är nästan hela arbetet gjort så jag kan nog inte säga mer om hur man transformerar bivillkoret.

hoppas detta hjälper.

Nu finns ny information i uppgift 3, som förhoppningsvis förklarar vad vi är ute efter!

Se inluppssidan!