Hej!
Har påbörjat första inlämningsuppgiften och fastnat på 3:e frågan om harmoniskt konjugat, vad är det och var finns det att läsa om i boken?

Mvh // Karin

Hejsan!

Om vi startar med en funktion \(u(x,y)\) som är harmonisk (dvs uppfyller Laplace ekvation). Då är det harmoniska konjugatet den funktion \(v(x,y)\) som du ser i Cauchy-Riemanns ekvationer:
\[
  \frac{\partial u}{\partial x}= \frac{\partial v}{\partial y},\quad \frac{\partial u}{\partial y}= -\frac{\partial v}{\partial x}
\]
Vad säger detta?

Jo, om du känner till hur \(u(x,y)\) ser ut så känner du till hur \(v(x,y)\)‘s derivator ser ut. Det gäller då alltså att från derivatorna till \(v(x,y)\) få fram \(v(x,y)\) själv.

Ett exempel::

Ex: \(u(x,y)=x^3-3xy^2+y\) (det är inte svårt att se att detta är en harmonisk funktion) vi söker nu \(v(x,y)\).

Cauchy-Riemann ger:
\[
\frac{\partial v}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial x}=3x^2-3y^2
\]
och
\[
\frac{\partial v}{\partial x}=-\frac{\partial u}{\partial y}=6xy-1
\]
Integrering av den första av dessa ekvationer m.a.p. y ger
\[
v(x,y)=3x^2y-y^3+\text{konstant}=3x^2y-y^3+h(x)
\]
Konstanten kan bero av \(x\) eftersom vi integrerar m.a.p y, varför vi har lagt till uttrycket till höger

Vi behöver nu ta reda på vad \(h(x)\) och detta gör vi genom att använda den andra Cauchy-Riemannekvationen:
\[
\frac{\partial v}{\partial x}=6xy+h’(x)=[\text{ andra ekvationen i ovan } ]=6xy-1
\]
Från detta har vi att \(h’(x)=-1\)  som betyder att \(h(x)=-x+a\), där \(a\) är en vanlig, riktig konstant. Om inget extra villkor ska uppfyllas kan man, om man vill, sätta konstanten till noll.
Vårt harmoniska konjugat blir alltså

\[
v(x,y)=3x^2y-y^3-x+a
\]

I inlämningsuppgiften så är det motsvarande räkningar som behövs. Om integreringarna blir knepiga så är det tillåtet att använda Mathematica.

Det finns också mängder av material på nätet. (men inte så mycket i boken). Sök efter Cauchy-Riemann equations and harmonic conjugate… men det finns väldigt mycket material, det mesta knutet till s.k. analytiska eller holomorfa funktioner och ligger bortom vår kurs.

Hej!
Tack för svar, det klarnade rejält 😊

Efter att ha kommit vidare från den frågan fastnade jag på fråga 5. Går det att räkna tangentlinjen utan att räkna gradienten? Har vi gjort det innan vi läste om gradienten? och vinkeln mellan dem, får jag fram den gemon att multiplicera eller ska det göras på annat sätt?

Mvh // Karin Söderlund

Hej igen!

Det finns flera sätt att beräkna tangentlinjer. Gradientmetoden är smidig men du får välja vilket sätt som passar dig bäst.

En linje i flera dimensioner kan ju beskrivas med vektorer. Och vinklar mellan vektorer studerade man i linjär algebra, så det kan vara bra att också att titta tillbaka på hur vinklar kom in i linjär algebra.

Räkneövning 41 är speciellt relevant…

mvh:-)