Hej! I lektion 6 om Taylorpolynom säger du, om jag fattat rätt, att funktionen är lika med “Hessianutvecklingen”. Men var tar själva polynomet på andra sidan likhetstecknet vägen?
                                              MVH
                                            Kenneth

Hejsan kenneth!

Jag hoppas att jag tolkar din fråga rätt när Du frågar var polynomet tar vägen.

Räkningen i föreläsning 6 videon på sida 7 där jag härleder Hessianen via andra gradens Taylorutveckling gav oss

\[
f(x,y)\approx f(a,b)+\nabla f|_{(a,b)}\bullet \left(
\begin{array}{c}
x-a \\
y-b \\
\end{array}
\right)
+\frac{1}{2!}(x-a,y-b)H|_{(a,b)}\left(
\begin{array}{c}
x-a \\
y-b \\
\end{array}
\right)
\]

Som jag förstår din fråga undrar du var polynomet tog vägen i detta uttryck?

Mysteriet ligger i så fall i att räkna ihop matrisprodukten
\[
(x-a,y-b)H|_{(a,b)}\left(
\begin{array}{c}
x-a \\
y-b \\
\end{array}
\right)
\]
Här har vi \((x-a,y-b)\) som ska ses som en 1x2-matris, \(H\) är 2x2-matrisen med andra gradens partialderivator till \(f\) och sist har vi 2x1 matrisen
\[
\left(
\begin{array}{c}
x-a \\
y-b \\
\end{array}
\right)
\]
När man räknar ihop dessa matrisprodukter så får man Taylorpolynomet vi startade med.
Man får då
\[
\begin{split}
\underbrace{(x-a,y-b)}_{1\times 2}\underbrace{H|_{(a,b)}}_{2\times 2}\underbrace{\left(
\begin{array}{c}
x-a \\
y-b \\
\end{array}
\right)}_{2\times 1}=
(x-a,y-b)\left(
\begin{array}{cc}
\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x} \\
\frac{\partial^2 f }{\partial x\partial y} & \frac{\partial^2 f }{\partial y^2} \\
\end{array}
\right)
\left(
\begin{array}{c}
x-a \\
y-b \\
\end{array}
\right)
=\\ \text{ använd kunskaper från linjär algebra för att multiplicera ihop matriserna }\\
=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x-a)^2+ \frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x}(x-a)(y-b)+
\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}(x-a)(y-b)+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(y-b)^2
\end{split}
\]
och här är det försvunna polynomet. Vi tolkar alltså Taylorpolynomet mha Hessianmatrisen. Det visar sig sedan vara så att max/min hänger ihop med egenskaper för denna Hessianmatris…

Hoppas att jag tolkat din fråga rätt och att detta hjälper…

Jag undrade över en sak angående Taylor-utvecklingen. Varför multiplicerar man inte Hessian-delen med \(\dfrac{1}{2!}\) ? Jag trodde att man måste göra det (som med en variabel) men såg att faktorn inte fanns med i föreläsningen och exemplet här i tråden.

Tack!

Det saknades mycket riktigt en halva i uttrycket, vilket är fixat nu.

Kolla även in miniföreläsningarna 5, 6, och 7 som är till för att göra Taylorutvecklng och Hessianproblematiken tydligare, utminstone finns halvan med i dessa. Däremot saknas halvan fortfarande i föreläsning 6 sidan 7…

mvh 😊

Tack för svaret. Jag undrade nämligen först om jag kanske hade missat någon detalj.