Ledning till 14.6.7

I denna uppgift har vi en del \(S\) av en ellipsoid som är begränsad av planen \(y=0\) och \(y=x\).
Volymen ska ligga i första oktanten vilket betyder att vi också har att \(z\geq 0\)

Vi utnyttjar först ledningen i uppgiften och använder oss av substitutionen
\(x=ax’\),\(y=by’\), \(z=cz’\). Genom denna substitution så blir ellisoiden en ren sfär. De begränsande planen ändras också: \(y=0\) blir \(y’=0\) och \(y=x\) blir \(by’=ax’\) som förenklas till \(y’=\frac{a}{b}x’\).  Volymen blir nu
\[
    V=\iiint_A dV=\iiint_{S'} abc dV’
\]
Vi har nu alltså en del av en sfär så nu är det lämpligt att göra ett sfäriskt koordinatbyte.
Vi får att vår volym kan beskrivas genom olikheterna
\[
0\leq r \leq 1,\qquad 0\leq\phi\leq \pi/2,\qquad 0\leq \theta\leq\arctan\frac{a}{b}
\]
De två första säger att vi sk ligga inom sfären (men ovanför \(z=0\)). Den sista likheten talar om att vi ska ligga mellan de två planen. Det första planet \(y’=0\) ges av \(\theta=0\) och planet \(y’=\frac{a}{b}x’\) ges av \(\theta=\arctan\frac{a}{b}\) eftersom linjen \(y’=\frac{a}{b}x’\) bildar vinkeln \(\theta=\arctan\frac{a}{b}\) till \(x\)-axeln.

Denna substituten leder till att volymen blir
\[
  abc\int_0^{\arctan\frac{a}{b}}\int_0^{\pi/2}\int_0^1 r^2\sin\phi dr d\phi d\theta=\cdots=\frac{1}{3}\arctan\frac{a}{b}
\]

Hejsan pf01usm!
Det här är ett ganska sent svar (kom precis hem från semestern…)

Du har inte preciserat exakt vad du haft problem med i denna uppgift så jag börjar med en allmän förklaring!

I detta svar dikuteras 14.6.5: Vi ska beräkna en volym som är instängd av mellan ett par olika ytor. Att beräkna
en volym brukar innebära att man behöver beräkna antingen en dubbel eller trippelintegral. Svårigheten vid denna typ av beräkningar är ofta att förstå vilket område man ska integrera över och att uttrycka detta område på lämpligt sätt.
Så låt oss titta på ytorna som ingår i uppgiften:
1. Området ligger ovanför xy-planet. Denna är enkel att beskriva:  z=0.
2. \(x^2+y^2=2ay\). Detta ska vara en cylinder enligt uppgiften. Detta kan man se om man skriver om ekvationen lite
\[
\Rightarrow x^2+y^2-2ay=0\Rightarrow x^2+(y-a)^2-a^2=0\Rightarrow x^2+(y-a)^2=a^2,
\]
där jag i andra implikationen kvadratkompletterat m.a.p. \(y\). Den sista likheten ger oss en cirkel med centrum
i \(x,y)=(0,a)\) och med radie \(a\). \(z\)-koordinaten är godtycklig så cylinderns sträcker ut sig parallell med \(z\)-axeln och är en cirkel i varje snitt med ett plan som är parallellt med xy-planet.

Vi kommer att uttrycka allt mha cylindriska (polära) koordinater och då kommer \(x^2+y^2=2ay\) att skrivas \(r=2a\sin \phi\) som
alltså är beskrivningen av vår cylinder i polära koordinater. Uppgiften frågar dessutom om det inre av denna cylinder
och detta måste i så fall innebära att \(0\leq r\leq 2a\sin\phi\). Ett varv runt cirkeln åstadkoms när \(\phi\) varierar från
noll till \(\pi\).

3. Den sista begränsningsytan ges av konen \(z=2a-\sqrt{x^2+y^2}\).  Om \(y=0\) så reduceras detta till \(z=2a-|x|\)
(och motsvarande om \(x=0\). I cylindriska koordinater så har vi att \(z=2a-r\).

Sammantaget har vi att vårt område kan beskrivas som
\[
0\leq z\leq 2a-r,\quad 0\leq r\leq 2a\sin\phi,\quad 0\leq\phi\leq \pi. 
\]
Den första olikheten säger att \(z\) ska ligga ovanför xy-planet och nedanför konen. Den andra olikheten säger
att vi ska ligga inom cylindern. Den tredje och sista olikheten ger oss cylinderns kant.

Om vi kallar området vi söker volymen av för \(D\) så ges volymen av trippelintegralen
\[
\begin{split}
    V&=\iiint_D dV=\text{cylindriska koord}=\iiint_D r dzdrd\phi=\\
    &=\int_0^\pi\int_0^{2a\sin\phi}\int_0^{2a-r}rdzdrd\phi=\\
    &=2\int_0^{\pi/2}\int_0^{2a\sin\phi}\int_0^{2a-r}rdzdrd\phi=
\end{split}
\]
I den sista likheten utnyttjas att området är symmetriskt kring \(y\)-axeln.

Ovanstående steg brukar ofta vara det svåra vid trippelintegrering och det som man som flervariabelanalysstudent behöver jobba med (det är ju detta som kursen handlar om).
Men sedan finns det ju naturligtvis svårigheter att utföra de praktiska integrationsberäkningarna. Integrationen m.a.p. \(z\) och \(r\) borde gå ganska lätt och resultatet blir
\[
8a^3\int_0^{\pi/2}\sin^2\phi-\frac{2}{3}\sin^3\phi d\phi=\cdots=(2\pi-32/9)a^3,
\]
För att beräkna denna envariabelintegral så behöver man förmodligen använda sig av olika trigonometriska omskrivningar (t.ex. trigonometriska ettan och sinus och cosinus för dubbla vinkeln, formler som finns innanför pärmen I Adams…)

Hoppas detta ger en viss hjälp… 

Jag behöver hjälp med dessa uppgifter.