Jag tränar för fullt med LaTeX och har kommit igång bra med det. Jag försökte återskapa sista delen av Föreläsning 3, Specialfall 2 och känner mig nöjd med resultatet. Det kändes dock omständligt att ta sig dit. Måste man verkligen skriva så mycket kod för att presentera detta eller har jag missat något?

\[
Df \cdot DS =
\begin{bmatrix}
\frac{\partial f}{\partial x} & \frac{\partial f}{\partial y}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\frac{\partial x}{\partial s} & \frac{\partial x}{\partial t} \\ \frac{\partial y}{\partial s} & \frac{\partial y}{\partial t}
\end{bmatrix}
=\]

\[=
\begin{bmatrix}
  \frac{\partial f}{\partial x}\cdot\frac{\partial x}{\partial s}+\frac{\partial f}{\partial y}\cdot\frac{\partial y}{\partial s} & , & \frac{\partial f}{\partial x}\cdot\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial y}\cdot\frac{\partial y}{\partial t} 
\end{bmatrix}
\]
Här är koden:

\[
Df \cdot DS = 
\begin{bmatrix}
 \frac{\partial f}{\partial x} & \frac{\partial f}{\partial y}
\end{bmatrix} 
\begin{bmatrix}
 \frac{\partial x}{\partial s} & \frac{\partial x}{\partial t} \\ \frac{\partial y}{\partial s} & \frac{\partial y}{\partial t}
\end{bmatrix} 
=\]

\[=
\begin{bmatrix}
  \frac{\partial f}{\partial x}\cdot\frac{\partial x}{\partial s}+\frac{\partial f}{\partial y}\cdot\frac{\partial y}{\partial s} & , & \frac{\partial f}{\partial x}\cdot\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial y}\cdot\frac{\partial y}{\partial t}   
\end{bmatrix}
\]

Nej, detta är tyvärr ganska normalt. Det kan bli ganska mycket skrivande för formlerna.
Men när man typsätter text så har man ofta tillgång till viss hjälp. Jag t.ex. använder TeXShop (ett mac-program för att typsätta matematiska dokument) Här finns en palett för att skapa matriser som jag använder ganska mycket.
Ett komplicerat matrisuttryck som
\[
\left[
\begin{array}{ccc}
\frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
\frac{\partial f_m}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n}
\end{array}
\right]
\]
skulle jag få via följande kod genererat av TeXShop

<br /> \left[<br /> \begin{array}{ccc}<br /> \frac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n} \\<br /> \vdots & \ddots & \vdots \\<br /> \frac{\partial f_m}{\partial x_1} & \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n}<br /> \end{array}<br /> \right]<br />
Jobbar man med Mathematica så kan man använda “copy as latex” (markera uttrycket genom att högerklicka lämplig parantes längst till höger i mathematica dokumentet
Högerklicka och välj “copy as latex”)

Men oftast så skriver jag uttrycken för hand. Det tar tid men det går att bli någorlunda snabb på det…

Fortsätter träna genom att leka med minsta kvadrat metoden från linjär algebra. 😊
Inleder med uppställningen från givna punkter i ett ekvationssystem att passa en linje till:
\[
\large
\begin{matrix}
\begin{bmatrix}
  x_1 & 1 \\
  x_2 & 1 \\
  \vdots & \vdots \\
  x_n & 1
\end{bmatrix} &
\begin{bmatrix}
  k \\
  m \\
\end{bmatrix}
&
=
&
\begin{bmatrix}
  y_1 \\
  y_2 \\
  \vdots \\
  y_n \\
\end{bmatrix} \\
A & x & = & b
\end{matrix}
\]
Som på varje rad ger:
\[
\large
y_{i}=kx_{i}+m
\]

Lös enligt minsta kvadrat-metoden:
\[
\large
A^{T}Ax = A^{T}b
\]
Vilket ger:
\[
\large
\begin{matrix}
\begin{bmatrix}
  x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\
  1 & 1 & \cdots & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
  x_1 & 1 \\
  x_2 & 1 \\
  \vdots & \vdots \\
  x_n & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
  k \\
  m \\
\end{bmatrix}
&
=
&
\begin{bmatrix}
  x_1 & x_2 & \cdots & x_n \\
  1 & 1 & \cdots & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
  y_1 \\
  y_2 \\
  \vdots \\
  y_n \\
\end{bmatrix}
\end{matrix}
\]
Vi multiplicerar in transponaten:
\[
\large
\begin{matrix}
\begin{bmatrix}
  x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2} & x_1+x_2+\cdots+x_n \\
  x_1+x_2+\cdots+x_n & n
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
  k \\
  m \\
\end{bmatrix}
&
=
&
\begin{bmatrix}
  x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n \\
  y_1+y_2+\cdots+y_n \\
\end{bmatrix}
\end{matrix}
\]
Med “km”-matrisen blir detta:
\[
\large
\begin{matrix}
\begin{bmatrix}
  k(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2})+m(x_1+x_2+\cdots+x_n) \\
  k(x_1+x_2+\cdots+x_n)+mn
\end{bmatrix}
&
=
&
\begin{bmatrix}
  x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n \\
  y_1+y_2+\cdots+y_n \\
\end{bmatrix}
\end{matrix}
\]
Vi går nu över till ekvationsystemet med k och m som okända. Vi börjar med att lösa ut m från den nedre ekvationen:
\[
\large
k(x_1+x_2+\cdots+x_n)+mn=(y_1+y_2+\cdots+y_n) \\
\large
m=\frac{(y_1+y_2+\cdots+y_n)-k(x_1+x_2+\cdots+x_n)}{n}
\]
Det är ungefär nu det börjar bli lite stökigt bland ekvationerna, vi ska nämligen substituera m i ekvation ett:
\[
k(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2})+\frac{((y_1+y_2+\cdots+y_n)-k(x_1+x_2+\cdots+x_n))(x_1+x_2+\cdots+x_n)}{n}=x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n
\]
Multiplikation med n underlättar:
\[
kn(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2})+(y_1+y_2+\cdots+y_n)(x_1+x_2+\cdots+x_n)-k(x_1+x_2+\cdots+x_n)^2=n(x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n)
\]
Nu kan vi börja lösa ut k:
\[
k(n(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2})-(x_1+x_2+\cdots+x_n)^2)=n(x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n)-(y_1+y_2+\cdots+y_n)(x_1+x_2+\cdots+x_n)
\]
En division:
\[
\large
k=\frac{n(x_1y_1+x_2y_2+\cdots+x_ny_n)-(y_1+y_2+\cdots+y_n)(x_1+x_2+\cdots+x_n)}{n(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2})-(x_1+x_2+\cdots+x_n)^2}
\]
Då vi finner k blir det även enkelt att finna m:
\[
\large
m=\frac{(y_1+y_2+\cdots+y_n)-k(x_1+x_2+\cdots+x_n)}{n}
\]
Nu är väl den stora frågan om det verkligen är lättare att använda dessa ekvationer för att finna k och m till minsta kvadrat linjen, än att sätta siffrorna direkt i matriserna och jobba därifrån. Det vet man inte.

Frågan är väl vad som är lättast att minnas: hur man löser systemet \(A^TAx=A^Tb\) eller formlerna för den allmänna lösningen som du härlett?