Shit on a stick,  jag gjorde ju om allt för att det inte skulle bli noll -.-,  well man lär sig =)

@Daud

Att divergensen är noll brukar tolkas som att fältet är källfritt, det finns inga punkter där flödet skapas. Tolkningen innebär för ett vätskeflöde att det måste var inkompressibelt. Skulle man kunna komprimera flödet på ett ställe så skulle det kunna expandera på ett annat och ge illusionen av att det finns en källa inom en viss volym.

Hur som helst: om vi har en volym begränsad av en sluten yta och ett fält som går genom denna yta så säger källfriheten att det som passerar in genom ytan måste också passera ut genom den. Med andra ord summan av alla flödesbidrag genom ytan måste bli noll. Det är detta som är idén. Om du studerar beviset för divergenssatsen så är det detta som är den springande punkten: att det blir noll pågrund av att divergensen av fältet blir noll.

mvh 😊

Hej Mikke,
Om divergence av ett vektorfält är noll betyder det att flux integral kommer alltid att vara noll? För att jag tänker diverg. sats säger ju det men jag har lite svårt att förstå varför?

Mvh/Daud

@Daud

Vi integrerar alltså över en ellips \(E\) definierad av \(x^2+\frac{(y-1)^2}{2}=1\) och har alltså centrum i
punkten \((x,y)=(0,1)\). Denna centrumpunkt kan vi tolka som masscentrum eller eftersom vi antar att ellipsytan inte har någon variarande densitet (dvs densiteten är 1) så säger man att detta centrum är en centroid (geometrisk mittpunkt eller geometriskt masscentrum). Det är dessa centroid/masscentrum koordinater som betecknas med \(\overline{x},\overline{y}\), respektive.

Masscentrum eller centroid koordinater beräknas mha integraler (jmfr kap 14.7 (s851 i Adams ed8))
För vårt tvådimensionella fall har vi

\[
    \overline{y} =\frac{1}{A}\iint_E y dxdy,\quad\Rightarrow\quad A\overline{y}=\iint_E y dxdy
\]
där integralen \(\iint_E y dxdy\) tolkas som moment kring axeln \(y=0\). I vårt fall är \(\overline{y}=1\) eftersom y-koordinaten av geometriska centrumet för ellipsen är 1.

vi får integralen

\[
\sqrt{2}\iint_E y dxdy=\sqrt{2} A\overline{y} =\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}\pi \cdot 1 =2\pi
\]

Adams använder sig alltså av att man kan tolka integralen mha geometri, detta fall ellipsens centrum och dess area. Integralberäkning mha geometri. Att integrera explicit kan bli betydligt jobbigare…

@mike
Hej , 
I frågan 15.5.13 händer det något i slutet i lösningen som jag inte förstår. Jag kommer fram till att   ds=sqrt(2)dxdy och sedan man integrerar över en ellipse med area 2Pi men nu har vi en funktion z=y då hela integralen blir y.ds . Om jag tar den traditionella vägen med x och y gränser det blir rätt krångligt. Då undrar jag om man kan göra på något annat sätt, kanske kan du förklara hur adams gjorde i sin lösning. Tack!

Hälsning/Daud

Hej,
Jag tänkte i liknande stil men behövde bekräftelse. Jag tänkte om radie hamnar ovan origo så tar jag theta bara 0 till pi och om den hamnar nedanför origo då 0 till 2pi. Tack!

Hälsning/Daud

@Daud

Har du provat att kvadratkomplettera \(x^2+y^2=2ay\) med avseende på \(y\). När Du gör det så ser Du var cylindercirkelns centrum är och vilken dess radie är.

mvh 😊

Hej,
Någon som kan svara på varför tar vi theta 0 till Pi istället för 0 till 2Pi i 14.6.5. För att jag tänker att vi har ju en disk med radie 2asin(θ), men det fortfarande är en disk. Vad är det som tyder på att att y kan inte bli minus?

Mvh/Daud

@Daud

Det är dags nu va!

Föreläsning 10 handlar om variabelbyte i dubbel och trippelintegral.
Det är väl lämpligt att börja där. Det finns ett par räkneövningar också.
Man kan också kolla in rekommendationerna för vekka 5 också.

mvh 😊

Hej Mikke,
Har vi haft någon föreläsning om variabelsbyte för dubel integral eller är det jag som har missat den.

Hälsning/Daud

Referensen till 14.2.25 förstår jag inte. Den uppgiften har inte några oändlighetsgränser.

I allmänhet skulle man skriva något i stil med
\[
\int_{-\infty}^\infty\int_{-\infty}^\infty f(x,y) dxdy
\]
om man ska integrera över hela planet. Men kom ihåg att dessa oändlighetsgränser tolkas som gränsvärden
\[
\lim_{a\to-\infty}\lim_{b\to\infty}\lim_{c\to-\infty}\lim_{d\to\infty}\int_a^b\int_c^d f(x,y) dxdy
\]

I 14.3.7 så ser funktionen ut olika i de fyra olika kvadranterna av \(xy\)-planet. Det är absolutbeloppen som bestämmer detta. T.ex. i andra kvadranten, där \(x<0\) och \(y>0\) så har vi funktionen
\[
e^{-(|x|+|y|)}=e^{-(-x+y)}=e^{x-y}
\]
Detta gör att man behöver dela upp integralen i fyra delar, en för varje kvadrant.
Integralen i andra kvadranten blir
\[
\int_{-\infty}^0\int_0^\infty e^{x-y} dx dy=\lim_{R\to\infty} \int_{-R}^0\int_0^\infty e^{x-y} dx dy=\cdots
\]

Hoppas detta hjälper!

Hej Mikke,
I frågan 14.2.25 sägs det att gränserna avgörs av hela xy-planet. Då undrar jag om jag ska ta minus oändligheten till postiv oändlighet för både x och y :?

Och sedan fråga 14.3.7 förstår jag inte hur jag ska börja den ?

Mvh
Daud Nawaz