Jag gissar att det är integralen
\[
I=\int_{1/2}^2 \ln x \left[\frac{5}{2}-x-\frac{1}{x}\right]dx
\]
som ställer till bekymmer?
Börja med att dela upp integralen:
\[
I=\underbrace{\int_{1/2}^2 \left[\frac{5}{2}-x\right]\ln x dx}_{I_1}-
\underbrace{\int_{1/2}^2\frac{\ln x }{x}dx}_{=I_2}
\]
\(I_2\) är enkel att hantera: sätt \(u=\ln x\), \(du=dx/x\) som gör att vi får integralen
\[
I_2=\int_{1/2}^2\frac{\ln x }{x}dx=\int_{a}^b udu= u^2/2|_a^b=\left[\frac{(\ln x)^2}{2}\right|_{1/2}^2=...
\]
där \(a\) och \(b\) är gränserna map \(u\) som vi inte bryr oss om att beräkna eftersom vi byter
till baka till \(x\) variabeln.
Det är integral \(I_1\) som nog ställer till det för oss. Metoden som Adams använder är Partiell integration
och han använder ett sätt (det där med dU och dV…) som enligt min erfarenhet ofta leder till förvirrning Jag själv brukar undvika detta skrivsätt.
Om Ni behöver repetera partiell integration så kan ni kolla in
envariabelföreläsningen om partiell integration
På denna sida hittar ni även ett
pdf-dokument om partiell integration
som sammanfattar mitt alternativa skrivsätt om partiell integration.
Hur som helst går ju metoden ut på att man identifierar att man ska integrera en produkt av två funktioner. Den ena av dessa kommer då integreras och den andra deriveras. I vårt fall har vi
\[
\int_{1/2}^2 \overbrace{\left[\frac{5}{2}-x\right]}^{\uparrow}\underbrace{\ln x}_{\downarrow} dx=
\left[\left(\frac{5x}{2}-\frac{x^2}{2}\right)\cdot\ln x\right]_{1/2}^2 -\int_{1/2}^2\left(\frac{5x}{2}-\frac{x^2}{2}\right)\cdot\frac{1}{x} dx=...
\]
När man väl gjort partiell integrationstricket så får man alltså i detta fall något som är ganska enkelt att hantera….
