Bra löst! (och snyggt typsatt Emil B!)

För som inte sett det ännu så finns Adams egna lösningar på kursbokssidan (när man är inloggad)

Den subtila saken ligger ju i uppskattningen
\[
\frac{x^2}{x^2+y^2}xy^3<xy^3
\]
Kvoten är ju begränsad av ett men den är ju inte definierad i \((0,0)\). Men gränsvärdet kommer att bli ett.

Jag bifogar här en bild på hur grafen till denna kvot
\[
\frac{x^2}{x^2+y^2}
\]
ser ut. Notera hur snäll ytan är förutom just i origo.
Notera också att gränsvärdet då \((x,0)\to (0,0)\) blir ett (bergsryggen i bilden) . Och gränsvärdet \((0,y)\to(0,0)\) blir noll (dalgången till “Helms deep”):

Eftersom vi får olika resultat när vi närmar oss origo så kan inte gränsvärdet för denna kvotfunktion existera. Nu är ju kvoten multiplicerad med \(xy^3\) som gör att produkten får gränsvärdet noll från alla riktningar. Och då är allt grönt och vi kan definiera om värdet till funktionen i \((0,0)\) enligt den nämnda definition 3.

Bra jobbat allihopa!

Jag föreslår att du tittar i facitet som finns tillgängligt här, min lösning är ganska precis som deras.

\(\frac{x^2 + y^2 − x^3y^3}{x^2 + y^2}\) går att skriva om till 1 - \(\frac{x^3y^3}{x^2 + y^2}\)

den andra delen kan vi dela upp med

\(\frac{x^3y^3}{x^2 + y^2}\) = \(\frac{x^2}{x^2 + y^2}\) \(xy^3\)

\(\frac{x^2}{x^2 + y^2}\) \(xy^3\) <= \(xy^3\)

\(xy^3\)  går mot 0 då (x,y) går mot (0,0)

så då får vi f(x,y) = 1 - 0 = 1

så då definerar vi f(0,0) = 1

svaret ligger i definition 3(s.682) och jag tror frågan behöver inte lösas om jag inte har fel nu 😊.

Hej har problem med att lösa uppgiften 12.2-13 någon som har gjort den och kan skicka lösning