Tack för svaret, visst är det så. Jag krånglade till mig i mina resonemang i onödan.

Vad jag har svårt att förstå, som anknyter till ovanstående, varför de i uppgift 12.8.13 får:
\[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{1}{6} \]

Jag får det till \[ \frac{ \partial F}{\partial x} + \frac{\partial F}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial x}  = \frac{1}{3} \]

Jag tänker mig att

\[ F(x,v,u(x,v)) \]

Det kan inte vara \[ F(x,v(x),u(x)) \] eller \[ F(x,v(x,u), u(x,v)) \]

Tänker jag fel?

Anledningen till tolkningen \(x(y,z,t,w)\) är att vi har en ekvation:
\[
x^2y^2+y^2z^2+z^2t^2+t^2w^2-xw=0
\]
Ekvationen binder variablerna till varandra och betyder att de är beroende av varandra.
Om vi jämför med en enklare ekvation
\[
x+y+z+t+w=0 \quad\Leftrightarrow\quad x=-y-z-t-w
\]
så kan man explicit lösa ut en av variablerna (t.ex. x) som funktion av de övriga.

Detta är inte möjligt från uppgiftens ekvation och då säger vi att en av variablerna (t.ex. x) är implicit definierad som funktion av de övriga. Om vi kunde lösa ut \(x\) så skulle vi explicit se hur \(x\) verkligen beror av de övriga, men det kan vi inte. I analogi med den enklare ekvationen ser vi att x i allmänhet blir en funktion av alla de övriga variablerna, inte bara av en av dem.

Vad gäller den andra frågan så har vi ju ingen annan information än ekvationen. Vi har därför ingen information som ger oss anledning till att tro att någon av de andra skulle bero av de övriga variablerna. För ett sådant beroende krävs det extra ekvationer och villkor.
Men som du säger: skulle det finnas sådan information så skulle uppgiften kunna bli mycket mer komplicerad, eller enklare: det skulle ju kunna vara så att \(y\) och \(t\) beror av varandra så att \(y^2=-t^2\) vilket gör att ekvationen blir
\[
x^2y^2-y^2w^2-xw=0
\]
Men vi har som sagt inget som ger oss anledning att misstänka något sådant.

Hej Mikke, jag undrar varför du i videon till uppgiften säger att man ska tolka partialderivatan av x m.a.p. w som x(y,z,t,w)? Varför kan man inte bara konstatera att funktionen x innehåller w och minst en av de andra och sedan partialderivera enligt kedjeregeln? Det kunde väl lika gärna ha varit att x(w,t) eller säg x(w,y,z), eller?

Sen undrar jag hur man egentligen vet om variablerna i en funktion i sig inte beror på ytterligare variabler? Det kan förändra bilden drastiskt. Om vi tar exemplet ovan, det kunde ju varit så att x(w,t(z)), eller?

Hoppas du förstår vad jag menar.

Uppdatering:

Jag tror att jag förstår. Man ska tolka så som du säger för att man vet inte vad funktionen x faktiskt beror av. Så man “garderar” sig genom att ta med alla övriga variablerna i den. Skulle det visa sig att vissa av derivatorna inte finns sen kan man bara bortse från dessa. Kan man tolka det så här?

Fråga 2 kvarstår. 😊