Jag gjorde precis som du visar och som jag misstänkte skulle behöva göras och allt föll på plats. Jag ät tyvärr lite ringrostig eftersom jag inte har gjort matematik på rätt många år… Men med analysboken från envariabeln och linjära algebran kommer saker och ting sakta tillbaka. 😊

Vad bra!

Då har du nog funderat lite kring detta.
Faktoriseringen av nämnaren (använd konjugatregeln alltså) ger oss
\[
\frac{x-y}{(x-y)(x+y)}
\]

Detta ger oss, grovt sett, en möjlighet att bara stryka bort den gemensamma faktorn i täljaren och nämnaren.

Men, om vi ska vara noggrann, så kan man bara göra denna “strykning” då \(x\neq y\) ty då har vi att
\[
\frac{x-y}{x-y}=1
\]
Men på linjen \(y=x\) så gäller, strikt sett alltså, inte detta (eftersom vi har en nollnämnare). Men detta är inget större problem eftersom då vi närmar oss linjen så blir denna kvot hela tiden 1 och man förväntar sig då att kvoten blir 1 när vi går ända fram mha gränsvärdet.
Vi kan alltså få en funktion som är kontinuerlig ända fram till och med linjen \(y=x\) genom att definiera
\[
f(x)=\begin{cases}
\frac{x-y}{x^2-y^2} & x\neq y\\
\frac{1}{x+y}& x=y
\end{cases}
\]
Netto effekten av detta blir funktionen \(\frac{1}{x+y}\), eftersom vi kan stryka bort den gemensamma faktorn då \(y\neq x\). Det nya är att vi får en funktion som är kontinuerlig och snäll på linjen \(y=x\), och i synnerhet i punkten \((1,1)\) som ju ligger på denna linje.

Men på linjen \(y=-x\) så har fortfarande problem (eftersom nämnaren då blir noll) och eftersom vi inte har någon täljare som kan balancera bort detta problem så kan vi inte bara definiera bort problemet utan detta får vi leva med, helt enkelt.

Hoppas detta hjälper!

Det roliga är att jag har gått runt med problemet i huvudet idag och jag tänkte just på att jag nog måste laborera lite med nämnaren för att “låsa” upp funktionen och se den från andra perspektiv. Och det visar sig vara det rätta tricket enligt dig. Bra, bra!

Försök börja med att använda konjugatregeln för att faktorisera nämnaren i funktionen
\[
\frac{x-y}{x^2-y^2}
\]
Då bör du se vad det är som (inte) blir problematiskt när \((x,y)\to(1,1)\) och det borde ge dig en idé om hur du ska definiera om funktionen så att den eventuellt blir kontinuerlig i den aktuella punkten.

Jag inleder terminens frågeomgång genom en klurig fråga om gränsvärden. Vilket gränsvärde har funktionen i (1,1)? Jag hittar bara oändlighet… Det ser om även om man ritar upp den.

Kan någon utveckla hur resonemanget ska gå?

I boken föreslår de att Df ska utvidgas till f(x,x)=1/2x för att det ska bli kontinuerlig.

Upplys mig…

Hälsning
W